Functional relations in conformal field theory and their solutions

Abstract

This thesis deals with mathematical questions that arise in the areas of integrable 2-dimensional quantum field theory and 2-dimensional conformal quantum field theory. Such quantum field theories are interesting due to their high degree of symmetry, which opens up the possibility of exact computations and sometimes even mathematically rigorous construction from first principles. Thus, they have been a focal point of mathematical physics for many years.

The thesis consists of two separate but related parts. Part I focuses on Y-systems, which are a type of finite difference equations that play an important role in many integrable quantum field theories, since their solutions encode the spectrum of conserved charges. We first prove a result which helps establish the precise relationship between Y-systems and non-linear so-called Thermodynamic Bethe Ansatz (TBA) integral equations. We then go on to prove existence and uniqueness for positive real solutions to a large class of TBA equations, and as a consequence also obtain an existence and uniqueness theorem for solutions to the corresponding Y-system. Moreover, results about the asymptotic behaviour of these solutions are obtained, and properties of more general solutions are studied.

In Part II, topological defects are used as a tool from which non-local conserved charges in conformal field theory can be constructed. To this end, the mathematical properties of perturbed topological defect operators in rational conformal field theory are analysed, extending the existing formalism and results to the case of twisted boundary conditions. Finally, a special class of twisted perturbed topological defect operators (T-operators) is studied in the conformal field theory which describes the compactifed free boson. It is shown that they satisfy the truncated twisted T-system functional relations obtained by Bazhanov, Lukyanov and Zamolodchikov based on a different approach. As a result, the spectrum of the T-operators is encoded in a Y-system of the type studied in Part I. We conclude by a numerical investigation of some solutions for some low-lying states in the spectrum, exploiting in particular the continuum of twisted boundary conditions that exists in the free boson.

Diese Arbeit behandelt mathematische Probleme, welche sich insbesondere auf dem Gebiet 2-dimensionaler integrabler Quantenfeldtheorien sowie 2-dimensionaler konformer Feldtheorien ergeben. Solche Quantenfeldtheorien sind interessant aufgrund ihres hohen Grades an Symmetrie, welcher die Chance auf exakte Berechnungen und manchmal selbst mathematisch rigorose Konstruktion in sich birgt. Sie stehen daher seit langem im Fokus der mathematischen Physik.

Die Arbeit besteht aus zwei getrennten, aber aneinander anknüpfenden Teilen. Teil I handelt von Y-systemen, einem Typus von Differenzengleichungen, denen eine wichtige Rolle in integrablen Quantenfeldtheorien zukommt, da ihre Lösungen das Spektrum erhaltener Ladungen beschreiben. Wir beweisen zuerst ein Resultat, welches uns dabei hilft, die präzise Beziehung zwischen Lösungen von Y-systemen und Lösungen von sogenannten nichtlinearen Thermodynamischen Bethe Ansatz (TBA) Integralgleichungen zu klären. Danach beweisen wir die Existenz und Eindeutigkeit einer positiven reellen Lösung für eine grosse Klasse von TBA Gleichungen, und als Folge davon gewinnen wir auch einen Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Lösungen des entsprechenden Y-systems. Überdies werden Resultate zum asymptotischen Verhalten dieser Lösungen hergeleitet, und Eigenschaften allgemeinerer Lösungen werden untersucht.

Im Teil 2 werden topologische Defekte als Hilfsmittel benutzt, um nicht-lokale erhaltene Ladungen in konformen Feldtheorien zu konstruieren. Dazu werden die mathematischen Eigenschaften von gestörten topologischen Defektoperatoren in rationalen konformen Feldtheorien untersucht, wobei der existierende Formalismus sowie damit erzielte Resultate auf den Fall getwisteter Randbedingungen verallgemeinert werden. Schliesslich wird eine spezielle Klasse von getwisteten gestörten topologischen Defektoperatoren (T-Operatoren) in der konformen Feldtheorie des kompaktifizierten freien Bosons untersucht. Es wird gezeigt, dass sie die trunkierten getwisteten T-system-Funktionalrelationen erfüllen, welche Bazhanov, Lukyanov und Zamolodchikov durch einen anderen Zugang hergeleitet haben. Damit wird das Spektrum der T-operatoren durch ein Y-system vom in Teil I untersuchten Typ beschrieben. Die Arbeit schliesst mit einer numerischen Untersuchung der Lösungen für einige tief liegende Zustände im Spektrum, wobei insbesondere ausgenutzt wird, dass für das freie Boson ein Kontinuum an getwisteten Randbedingungen existiert.