Estimators for temporal dependence of extremes

Abstract

For the understanding of the behavior of the extremes of a stationary time series, the analysis of the extremal dependence in time is of high importance. For quantities describing this temporal dependence of extreme events, block estimators are often used. Block estimators are defined as the average of statistics depending on blocks of standardized extreme observations. This blocks estimators can be defined by using so-called sliding blocks, or it can be defined as an average over disjoint blocks.

The asymptotic analysis for disjoint blocks estimators can be performed using the central limit theorems of Drees and Rootzén (2010). In this thesis, a generalized functional limit theorem for suitable empirical processes is derived. As a special case, for the first time this allows a systematic asymptotic analysis of sliding blocks estimators. Specifically, the asymptotic normality of the standardized sliding blocks estimator is proved under weak conditions.

In general, both the sliding and the disjoint blocks estimator can be used for the same estimation problem. In this thesis, we prove that the sliding blocks estimator in the POT setting never has a larger asymptotic variance than the disjoint blocks estimator.

Among the indexes describing specific aspects of the extremal dependence of time series are the so-called cluster indexes. In this thesis, we consider two cluster indexes: the well known extremal index and the newer stop-loss index. For both indexes, the asymptotic distributions of the estimation errors are derived on the basis of the general theory mentioned above and, for the family of stop-loss indexes, even process convergence is shown. In each case, we consider a sliding blocks estimator, the associated disjoint blocks estimator and a runs estimator. With the unified framework used in this thesis, it is shown that all three estimators for the extremal index have the same asymptotic distribution - a fact that was not yet known in the literature. The asymptotic result for the sliding blocks estimator is shown for the first time in this work.

Under the assumption of regular variation, the spectral tail process describes the entire extremal dependence structure of a stationary time series. Thus, for the initial problem of describing the temporal dependence of extremes, the estimation of its distribution is of particular interest. In this thesis, a new type of estimator is proposed, which is based on an invariance principle of the distribution of the spectral tail process. This invariance principle can be used for the construction of estimators by means of a projection method. For the corresponding estimator of the probability that the spectral tail process at some fixed time point lies in a specific Borel set, the asymptotic normality is derived using the general results for sliding blocks estimators mentioned above. Asymptotic normality is proved for both a known and an estimated index of regular variation. The conditions required for these asymptotic results are all shown to be satisfied by the general example of solutions to stochastic recurrence equations. Simulation results show that this new projection based estimator mostly has smaller variance than estimators known from the literature. Moreover, this estimator also has the most stable performance in terms of the RMSE. Overall, the new estimator has some desirable properties that its predecessors from the literature do not possess.

Für das Verständnis des Verhaltens extremer Beobachtungen einer stationären Zeitreihe ist insbesondere die Analyse der extremalen Abhängigkeiten in der Zeit von hoher Bedeutung. Für Kennzahlen, die diese temporale Abhängigkeit extremer Ereignisse beschreiben, werden oft Block-Schätzer benutzt. Diese sind definiert als Durchschnitt von Statistiken, die auf Blöcken der standardisierten extremen Beobachtungen basieren. Eine solche Teststatistik für die extremale Zeitabhängigkeit kann als Durchschnitt über sogenannte sliding-Blöcke gebildet werden, oder unter Verwendung von disjunkten Blöcken.

Die asymptotische Analyse von disjoint-Block-Schätzern kann mithilfe der zentralen Grenzwertsätze von Drees und Rootzén (2010) durchgeführt werden. In dieser Arbeit wird ein verallgemeinerter funktionaler Grenzwertsatz für geeignete empirische Prozesse bewiesen. Als Spezialfall ermöglicht dieser erstmals eine systematische asymptotische Analyse von sliding-Block-Schätzern. Konkret wird unter schwachen Bedingungen die asymptotische Normalität des standardisierten sliding-Block-Schätzers hergeleitet.

In der Regel kann man sowohl den sliding- als auch den disjoint-Block-Schätzer für dasselbe Schätzproblem verwenden. In dieser Arbeit wird beweisen, dass der sliding-Block-Schätzer im POT-Setting niemals eine größere asymptotische Varianz als der disjoint-Block-Schätzer hat.

Zu den Kennzahlen, welche spezifische Aspekte der extremalen Abhängigkeit von Zeitreihen beschreiben gehören die sogenannten Cluster Indexe. In dieser Arbeit betrachten wir zwei Cluster Indexe: Den aus der Literatur wohlbekannten Extremal Index und den neueren Stop-loss Index. Für beide Indexe werden die asymptotischen Verteilungen der Schätzfehler auf Basis der zuvor erwähnten allgemeinen Theorie hergeleitet, wobei für den Stop-loss Index sogar Prozesskonvergenz gezeigt wird. Dabei betrachten wir jeweils einen sliding-Block-Schätzer, den zugehörigen disjoint-Block-Schätzer und einen Runs-Schätzer. Mit dem in dieser Arbeit verwendeten vereinheitlichten Rahmen wird gezeigt, dass alle drei Schätzer für den Extremal Index die gleiche asymptotische Verteilung haben - ein Umstand der in der Literatur noch nicht bekannt war. Das asymptotische Resultat für den sliding-Block-Schätzer wird in dieser Arbeit zum ersten Mal gezeigt.

Unter der Annahme der regulären Variation beschreibt der Tail-Spektralprozess die gesamte extremale Abhängigkeitsstruktur einer stationären Zeitreihe. Für das Ausgangsproblem der Beschreibung der temporalen Abhängigkeit von Extremwerten ist also insbesondere die Schätzung dieser Verteilung von Interesse. In dieser Arbeit wird ein neuer Typ von Schätzern vorgeschlagen, welche auf einem Invarianzprinzip der Verteilung des Tail-Spektralprozesses basieren. Dieses Invarianzprinzip kann mittels einer Projektionsmethode für die Konstruktion von Schätzern verwendet werden. Für den Schätzer der Wahrscheinlichkeit das der Tail-Spektralprozess zu einem fixen Zeitpunkt in einer bestimmten Borel-Menge liegt, wird in dieser Arbeit die asymptotische Normalität mit den zuvor genannten allgemeinen Resultaten für sliding-Block-Schätzer hergeleitet. Die asymptotische Normalität wird sowohl für einen bekannten als auch für einen geschätzten Index der regulären Variation bewiesen. Für die asymptotischen Resultate werden eine Reihe an Bedingungen benötigt, diese werden alle für das allgemeine Beispiel der Lösungen von stochastischen Rekurrenzgleichungen verifiziert. Simulationsergebnisse deuten darauf hin, dass dieser neue projektionsbasierte Schätzer im Vergleich zu aus der Literatur bekannten Schätzern zumeist eine kleinere Varianz aufweist. Darüber hinaus hat dieser Schätzer auch im Sinne des RMSE die stabilere Performance. Insgesamt hat der neue Schätzer einige wünschenswerte Eigenschaften, die seine Vorgänger aus der Literatur nicht besitzen.