Toward theory advancement in mathematical cognition and teacher cognition

Abstract

Mathematics education is a very broad research field divided into several subfields, two of them being of primary concern in this thesis: mathematical cognition and teacher cognition. These subfields contain a broad range of diverse theories that cultivate varied understandings of complex phenomena in mathematical thinking, learning, and teaching. However, the now-pervasive diversity of theories encourages the development of conflicting viewpoints, frequently hindering dialogue across traditions and paradigms, biasing theorists, and promoting the formation and growth of narrow, and at times restricting, theoretical accounts of complex phenomena. Recognizing this challenge, this thesis attempts to look for theoretical tensions or oppositions and use them to stimulate the development of more powerful theoretical accounts. In particular, this thesis goes beyond previous attempts at coordinating theoretical perspectives in the context of mathematical cognition and teacher cognition that fostered unidimensional representations and privileged one side of a dualism. This thesis consists of three articles, each having its specific objective for theory development in the areas of mathematical cognition and teacher cognition. In particular, the thesis attempts to blend opposing theoretical perspectives to reveal complementarity in the field of mathematical knowing and learning, challenge taken-for-granted assumptions to reveal restrictions in the field of teacher knowledge, and portray some complex phenomena that cannot be accounted for using intuitive models of teacher noticing. The articles, taken together, call for a perspective from which one can recognize the interplay of apparently conflicting, yet interdependent, insights. The theoretical perspectives generated in this thesis demonstrate possibilities for linking apparently disparate approaches, revealing that some conflicting approaches underscore interwoven (rather than contradictory) facets of complex phenomena. In doing so, this thesis contributes to raising awareness that seemingly unambiguous phenomena and issues in mathematical cognition and teacher cognition are far more complex than one might have imagined and that existing theoretical conceptualizations and theories that attempt to account for them are in many ways restricting. The first article, and the respective chapter in the thesis, discuss local theories of mathematical cognition, in particular two approaches (abstraction-from-actions and abstraction-from-objects) that have been previously construed as opposing. The thesis blends theoretical perspectives from both approaches to present a bi-directional, dynamic, non-linear view of mathematical concept formation. The second article, and the respective chapter in the thesis, examine teacher cognition, discussing existing conceptualizations of mathematics teacher knowledge and taking a critical stance toward how the field currently conceives of what makes this knowledge specialized. The thesis reveals some limitations of current conceptualizations of teacher knowledge and offers alternative views that provide insights into underexplored issues regarding what makes mathematics teacher knowledge specialized. The third article, and the respective chapter in the thesis, examine teacher cognition from the perspective of the construct of teacher noticing, drawing on insights from cognitive science and the applied science of human factors to develop a model of teacher noticing which challenges intuitive assumptions and views individual and environment as interdependent and inseparable. The thesis provides viable grounds for reconsidering how to think about the complexities involved in teacher noticing, in the hope of anticipating crucial unanswered questions in this field. It is hoped that these contributions add value to the field by advancing understanding and moving the field’s thinking forward, offering fresh insights regarding complex phenomena, producing decidedly different and uniquely informative theoretical views of phenomena under study, providing new connections among previous conceptualizations and exploring the implications of alternative views.

Mathematikdidaktik ist ein sehr weites Forschungsfeld, das in mehrere Teilbereiche unterteilt ist, von denen zwei in dieser Dissertation von vorrangiger Bedeutung sind: mathematische Kognition und Lehrerkognition. Diese Teilgebiete enthalten bzw. beziehen sich auf ein breites Spektrum unterschiedlicher Theorien, die komplexe Phänomene im mathematischen Denken, Lernen und Lehren unterschiedlich verstehen und interpretieren. Gleichzeitig erlaubt die heute verbreitete Vielfalt von Theorien die Entwicklung von Perspektiven, die den Diskurs über mathematische Kognition sowie über komplexe Phänomene des mathematischen Denkens, Lehrens und Lernens behindern – u.a. durch von Traditionen und engen Paradigmen geprägten Auffassungen, die die Entwicklung enger und bisweilen einschränkender theoretischer Darstellungen komplexer Phänomene fördern. Die vorliegende Arbeit stellt sich dieser Problematik und intendiert, theoretisch bedingte Spannungen oder Gegensätze zu identifizieren und diese zu nutzen, um die Entwicklung theoriebasierter Ansätze zu stimulieren. Insbesondere geht diese Dissertation über Ansätze hinaus, die theoretische Perspektiven im Bereich der mathematischen Kognition und Lehrerkognition im Hinblick auf eine eindimensionale Repräsentation bevorzugten und plurale Ansätze vernachlässigten. Die Dissertation basiert auf drei Artikeln in wissenschaftlichen Zeitschriften, die jeweils einen spezifischen Aspekt der Theorieentwicklung in den Bereichen der mathematischen Kognition und der Lehrerkognition fokussieren. Dabei intendiert die Arbeit gegensätzliche theoretische Perspektiven zu kombinieren, die die Notwendigkeit komplementärer Ansätze auf dem Gebiet des mathematischen Wissens und Lernens aufzeigen, die als selbstverständlich vorausgesetzte theoriebasierte Annahmen hinterfragen, die Einschränkungen im Bereich des Lehrerwissens aufdecken und komplexe Phänomene darlegen, die in den Theorieansätzen nicht berücksichtigt wurden. Dabei dient die professionelle Unterrichtswahrnehmung als zentraler Ansatz. Die der Dissertation zugrundeliegenden Artikel fordern eine Perspektive, aus der man die Verknüpfung scheinbar widerstreitender, aber voneinander abhängiger Ansätze erkennen kann. Die theoretischen Perspektiven, die in dieser Arbeit generiert werden, zeigen Möglichkeiten auf, scheinbar unvereinbare Ansätze zu verknüpfen, und decken auf, dass widersprüchliche Ansätze eher miteinander verwobene und nicht widersprüchliche Facetten komplexer Phänomene darstellen. Damit trägt diese Arbeit dazu bei, das Bewusstsein zu schärfen, dass scheinbar augenfällige Phänomene der mathematischen Kognition und Lehrerkognition deutlich komplexer sind, als man es sich gemeinhin vorstellt und dass existierende theoretische Konzeptualisierungen und Theorien, die versuchen, diese zu erklären, in vielerlei Hinsicht einschränkend bzw. eingeschränkt sind. Im Detail behandelt der erste Artikel lokale Theorien der mathematischen Kognition, insbesondere zwei Ansätze (Abstraktion von Aktionen und Abstraktion von Objekten), die zuvor als gegensätzlich konzeptualisiert wurden. Die Dissertation geht über die Diskussion eines Vergleichs dieser scheinbar gegensätzlichen Ansätze hinaus, indem theoretische Perspektiven grundlegender kognitiver Prozesse, die beiden Ansätzen zugrunde liegen, miteinander verschmolzen werden, um eine bi-direktional ausgerichtete, dynamische und nichtlineare Sicht der mathematischen Begriffsbildung zu entwickeln. Der zweite Artikel untersucht die Lehrerkognition, indem bestehende Konzeptualisierungen des Professionswissens von Mathematiklehrkräften diskutiert werden. Insbesondere wird eine kritische Haltung eingenommen gegenüber der Frage, wie das Forschungsfeld gegenwärtig Spezialisierung im Professionswissen von Mathematiklehrkräften konzeptualisiert. Die Arbeit zeigt Einschränkungen aktueller Konzeptualisierungen des Lehrerprofessionswissens auf, und bietet alternative Sichtweisen, die die Aufmerksamkeit auf wenig erforschte Fragen hinsichtlich der Spezialisierung des Lehrerprofessionswissens lenken. Der dritte Artikel untersucht Lehrerkognition aus der Perspektive des Konstrukts der professionellen Unterrichtswahrnehmung von Lehrkräften und stützt sich dabei auf Erkenntnisse der Kognitionsforschung, um ein Modell der professionellen Wahrnehmung von Lehrkräften zu entwickeln, das intuitive Annahmen herausfordert und Individuum und Umwelt als voneinander abhängig und untrennbar betrachtet. Die Dissertation eröffnet eine Grundlage zur Reflektion der Komplexität der professionellen Wahrnehmung von Lehrkräften, um damit einen Beitrag zur Identifizierung wichtiger Fragen in diesem Bereich zu ermöglichen.