On Dirac Generating Operators and Clifford Module Bundles

Abstract

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit irreduziblen Clifford-Modulbündeln und Dirac-Erzeugendenoperatoren von Courant-Algebroiden. Irreduzible Clifford-Modulbündel sind reelle Vektorbündel, die eine Darstellung eines reellen Clifford-Algebra-Bündels tragen, sodass die Darstellungen faserweise vom gleichen ‘Typ’ sind, d.h. sie sind alle äquivalent zu einer festen irreduziblen Darstellung einer reellen Clifford-Algebra. Als eines der Hauptergebnisse dieser Arbeit beweisen wir eine Beziehung zwischen beliebigen irreduziblen Clifford-Modulbündeln des gleichen Typs und verwenden diese Beziehung, um alle derartigen Modulbündel zu klassifizieren. Genauer, gegeben ein festes irreduzibles Clifford- Modulbündel, beweisen wir eine Bijektion zwischen den Isomorphieklassen aller irreduziblen Cliffordmodulbündel vom gleichen Typ wie dieses feste Bündel und den Isomorphieklassen aller Modulbündeln, die die reguläre Darstellung des Schur-Algebra-Bündels des festen Modulbündels tragen. Dirac-Erzeugendenoperatoren von Courant-Algebroiden sind gewisse Differentialoperatoren erster Ordnung auf irreduziblen Clifford-Modulbündeln. Die lokale Existenz dieser Operatoren, wenn das Skalarprodukt des Courant-Algebroids neutrale Signatur (p, p) hat, wurde von Alekseev und Xu in [AX] bewiesen. Wir nutzen unsere Ergebnisse über Clifford-Modulbündel, um diese Aussage auf die Existenz lokaler Dirac-Erzeugendenoperatoren von Courant-Algebroiden mit beliebigen Signaturen zu verallgemeinern. Ein weiteres Hauptergebnis dieser Arbeit ist die Beschreibung der Menge der Dirac-Erzeugendenoperatoren eines Courant-Algebroids von Signatur (p, p + 1) als affiner Raum. Hierbei ist die Differenz zweier solcher Operatoren gegeben durch Clifford-Multiplikation mit einem Schnitt des Courant-Algebroids, der eine bestimmte Bedingung erfüllt. Die vorliegende ist die erste Forschungsarbeit über Dirac-Erzeugendenoperatoren, die nicht-neutrale Signaturen explizit berücksichtigt.