Analyse eines Spinsystems mit eingefrorener Unordnung mittels der Ortsraum-Renormierungsgruppe

Abstract

Das Ziel dieser Dissertation besteht darin, das Verständnis von ungeordneten Spin-Systemen in einer Dimension zu verbessern. Magnetische Systeme mit eingefrorener Unordnung werden seit langem intensiv untersucht. Berühmte Beispiele hierfür sind Spingläser oder der Ferromagnetismus in verdünnten magnetischen Halbleitern (DMS), die in zukünftigen Spin-Bauelementen eine gewichtige Rolle spielen könnten. Um die Rolle von Unordnung in hoch korrelierten Systemen verstehen zu können, sind einfache Modelle sehr hilfreich, welche die wesentlichen physikalischen Eigenschaften widerspiegeln. Trotz der exponentiell anwachsenden Rechenleistung von Computern geben analytisch lösbare Modelle immer noch den tiefsten Einblick in die grundlegenden Eigenschaften physikalischer Systeme.

Die Sparte an lösbaren Modellen ist natürlich beschränkt. Einige der bekannteren Spin-Modelle sind das Kirkpatrick Modell der Spingläser und das eindimensionale Ising Modell mit zufälligem, transversem Magnetfeld. Letzteres ist vielleicht das einfachste Modell mit eingefrorener Unordnung, welches einen Quantenphasenübergang aufweist. Das hier betrachtete Modell besteht aus einer Spinkette aus lokalisierten Ising Spins S_i mit zufälligen lokalen Potentialen V_i. Die Korrelation zwischen diesen Spins wird durch bewegliche Löcher vermittelt, die an der Kette entlang hüpfen. Die anti-ferromagnetische Kopplung J_i und die Hüpfmatrixelemente werden ebenfalls als zufällig angenommen. Der zugehörige Kondo-Gitter-artige Hamilton Operator wird mittels der Ortsraum Renormierungsgruppe analysiert. Wegen der Unordnung ist man mehr an den Verteilungen als an den Kopplungen selbst interessiert. In Erwartung eines Quanten-kritischen Punktes erhält man die so genannten kritischen Verteilungen mit Hilfe des Renormierungsschemas. Man gewinnt die dazugehörigen Flussgleichungen, die durch weitere Näherungen analytisch gelöst werden können. Mit Hilfe der kritischen Verteilungen berechnet man die Spin-Spin-Korrelationsfunktion und die Korrelationslänge.

The aim of this thesis is to improve the understanding of disordered spin systems in one dimension. Magnetic systems with quenched disorder have been under intensive studies for a long time. Famous examples are spin glasses or the ferromagnetism in diluted magnetic semiconductors (DMS) which may play an important role in future spintronic devices. To understand the role of disorder in highly correlated systems one greatly benefits from simple models which capture the essential physical properties. Despite exponentially growing computer power analytically solvable models give the deepest insight into basic properties of physical systems.

The range of solvable models is limited of course. Some well known spin models are the Kirkpatrick model for spin glasses and the Ising model with random transverse field in one spatial dimension. The latter one is perhaps the simplest model featuring quenched disorder which exhibits a quantum phase transition. The model under consideration here consists of a spin chain of localized Ising spins S_i with random on site energies V_i. The correlation between these spins is mediated by itinerant holes with spin s_i hopping along the chain. The anti-ferromagnetic interaction strength J_i and the hopping amplitude t_i are chosen to be random also. The corresponding Kondo-lattice like Hamiltonian is analyzed using the formalism of real space renormalization group. Because of the randomness one is more interested in the distributions of couplings rather than the couplings themselves. Expecting a quantum critical point, the so called critical distributions are obtained via the renormalization scheme. One obtains the corresponding flow equations which can be solved analytically using some further approximations. With the help of the critical distributions one calculates the spin correlation function and correlation length.