Shape optimization approaches towards scalable algorithms allowing large deformations

Abstract

Formoptimierung ist ein Bereich, der darauf abzielt, das Design eines Objekts in Bezug auf einen gegebene physikalischen Größe zu verbessern, die durch eine Zielfunktion ausgedrückt wird. In den meisten nicht-trivialen Anwendungen erfordert die Zielfunktion die Lösung einer partiellen Differentialgleichung (englisch: partial differential equation, PDE). Es existieren empirische Techniken zur Verbesserung bestehender Designs. Allerdings haben neue Entwicklungen in der mathematischen Theorie, die zur Formulierung dieser Art von Problemen verwendet wird, neue Forschung in diesem Bereich ausgelöst. Darüber hinaus hat die Entwicklung von zunehmend schnelleren Computern zu Anwendungen geführt, die eine sehr große Anzahl von Freiheitsgraden (englisch: degrees of freedom, DoFs) umfassen.

Das Ziel dieser Arbeit besteht darin, hochmoderne Techniken in der Formoptimierung zu untersuchen, zu entwickeln und umzusetzen. Das Hauptinteressengebiet liegt in Anwendungen, die große Verformungen erfordern, um eine gegebene Domäne zu optimieren. Hier wird das Problem in einem kontinuierlichen Rahmen formuliert und anschließend durch die Methode der finiten Elemente (FEM) diskretisiert. Dieser diskrete Rahmen beschreibt die Geometrie, die durch die Anwendung einer Reihe von Deformationsfeldern über die Knoten des Gitters optimiert werden soll. Während dieses Prozesses können die diskreten Elemente möglicherweise Qualitätsverluste im Gitter erleiden. Daher ist diese Arbeit Teil des fortwährenden Interesses der Forschung an Techniken, die große Verformungen ermöglichen und gleichzeitig die Gitterqualität erhalten.

Im Kontext der Finite-Elemente-Analyse erfordern komplexe Geometrien normalerweise hochfeine Berechnungsgitter, um genaue Ergebnisse zu liefern. Daher konzentrieren wir uns hier auch auf die Implementierung von Fallstudien mit einer sehr großen Anzahl von DoFs. Zu diesem Zweck werden die vorgeschlagenen Algorithmen mit einem parallelisierten Framework, UG4, implementiert. Darüber hinaus werden die Ergebnisse mit massiven verteilten Speichersystemen, d.h. Supercomputern, erzeugt.

Eine auf der Literatur basierende Fallstudie zur Fluiddynamik wird verwendet, um die in dieser Arbeit entwickelten Formoptimierungsmethoden zu benchmarken. Das verwendete Beispiel ist das eines Objekts in der Mitte eines Strömungstunnels, dessen Oberfläche hinsichtlich einer bestimmten Größe wie dem Strömungswiderstand oder dem Auftrieb optimiert werden muss. Für die Studien innerhalb dieser Arbeit ist die Form des Objekts so festgelegt, dass sie geometrische Singularitäten wie Kanten und Ecken enthält, die während der Optimierung entfernt werden sollen. Darüber hinaus ist aus der Literatur bekannt, dass das optimierte Hindernis neu generierte geometrische Singularitäten enthalten muss. Daher handelt es sich um einen guten Benchmark-Fall für Techniken zur Formoptimierung bei großen Verformungen.

Shape optimization is an area that aims at improving the design of an object with respect to a given physical quantity expressed by an objective function. In most meaningful applications the objective function requires the solution to a partial differential equation (PDE). There are empirical techniques for improving existing designs. However, recent developments in the mathematical theory used to formulate these kind of problems has triggered new research in this area. Moreover, the development of progressively faster computers has lead to applications involving very large number of degrees of freedom (DoFs).

The goal of this work is to investigate, develop, and implement state-of-the-art techniques in shape optimization. The main area of interest is in applications which require large deformations to optimize a given domain. Here, the formulation of the problem is done in a continuous setting, and its followed by a discretization of the domain via the finite element method (FEM). This discrete setting describes the geometry which is to be optimized by applying a series of deformation fields across the nodes of the grid. It is during this process, that the discrete elements might undergo mesh quality losses. Therefore, this thesis is part of the ongoing interest of the research community on techniques that allow for large deformations, while preserving mesh quality.

In the context of finite element analysis, complex geometries usually require highly refined computational meshes to yield accurate results. Thus, here we also focus on implementing case studies with a very high number of DoFs. With this purpose, the proposed algorithms are implemented using the parallel-computing simulation framework UG4. Additionally, the results are generated using massive distributed-memory systems, i.e. supercomputers.

A literature-based, fluid dynamics case study is used to benchmark the shape optimization methods developed in this thesis. The used example is that of an object located in the center of a flow tunnel, whose surface must be optimized with respect to a certain quantity such as the drag or lift. For the studies within this work, the shape of the object is set to include geometric singularities -e.g. edges and corners- which are to be removed during the optimization. Furthermore, based on the literature, it is known that the optimized obstacle must include newly generated geometric singularities. Thus, this is a good benchmarking case for large deformation techniques in shape optimization.