Buoyancy-Driven Flows With Navier-Slip Boundary Conditions

Abstract

In this dissertation two-dimensional buoyancy-driven flows are investigated. While usually the Navier-Stokes equations are equipped with no-slip boundary conditions here we focus on the Navier-slip conditions that, depending on the system at hand, better reflect the physical behavior. In particular, we study two systems, Rayleigh-Bénard convection and a closely related problem without thermal diffusion. In the former, bounds on the vertical heat transfer, given by the Nusselt number, with respect to the strength of the buoyancy force, characterized by the Rayleigh number, are derived. These bounds hold for a broad range of applications, allowing for non-flat boundaries, any sufficiently smooth positive slip coefficient, and are valid over all ranges of the Prandtl number, a system parameter determined by the fluid. For the thermally non-diffusive system, regularity estimates are proven. Up to a certain order, these bounds hold uniformly in time, which, combined with estimates for their growth, provide insight into the long-time behavior. In particular, solutions converge to the hydrostatic equilibrium, where the fluid's velocity vanishes and the buoyancy force is balanced by the pressure gradient.

In dieser Dissertation werden zweidimensionale auftriebsgetriebene Flüsse untersucht. Während die Navier-Stokes-Gleichungen normalerweise mit Haftrandbedingungen versehen sind, fokussieren wir uns hier auf Navier-Randbedingungen, die abhängig vom betrachteten System, das physikalische Verhalten besser widerspiegeln. Insbesondere untersuchen wir zwei Systeme, Rayleigh-Bénard Konvektion und ein eng verwandtes Problem ohne Wärmediffusion. Im ersten Modell werden Grenzen für den vertikalen Wärmetransport, welcher durch die Nußelt-Zahl gegeben ist, bezüglich der Stärke des Auftriebskraft, charakterisiert durch die Rayleigh-Zahl, hergeleitet. Diese Abschätzungen gelten für einen großen Anwendungsbereich, der gekrümmte Ränder und beliebige, ausreichend glatte, positive Gleitkoeffizienten zulässt, und sind für alle Prandtl-Zahlen, einem durch das Fluid bestimmten Systemparameter, gültig. Für das System ohne Wärmediffusion werden Regularitätsabschätzungen bewiesen. Diese halten bis zu einer gewissen Ordnung gleichmäßig bezüglich der Zeit, was zusammen mit Abschätzungen für deren Wachstum Einsicht in das Langzeitverhalten gibt. Insbesondere konvergieren Lösungen zum hydrostatischen Gleichgewicht, in dem das Geschwindigkeitsfeld verschwindet und die Auftriebskraft durch den Druckgradienten ausgeglichen wird.