Schwarz Symmetrization and Prescribed Mean Curvature Problems

Abstract

The Schwarz perimeter inequality states that rearranging the horizontal slices of a set into a body of revolution decreases its perimeter. In the first part of this thesis, a full characterization of the equality cases of the Schwarz perimeter inequality is given. Moreover, we prove that the Schwarz perimeter inequality applies for prescribed mean curvature functionals with measure data whenever the considered measure satisfies certain monotonicity and isoperimetric properties. In the second part of this thesis, we consider Massari's well-known regularity theorem from 1975, which states that if a subset A of R^n has a variational mean curvature in L^p for some p>n, then the reduced boundary of A is a C^{1,\alpha} submanifold with \alpha=(p-n)/(4p). We show that every C^{1,\alpha} set admits a variational mean curvature in L^p for p<(1+\alpha)/(1-\alpha), and prove the existence of counterexamples for the case p>(1+\alpha)/(1-\alpha). We show that Massari's regularity theorem remains true for \alpha=(p-n)/(p+1), which is the optimal relation. For this purpose, we transfer the parametric problem into a non-parametric one, which we treat via methods of non-parametric partial regularity theory.

Die Schwarzungleichung besagt, dass der Perimeter einer Teilmenge A von R^n größer ist als der Perimeter der entsprechenden Schwarzsymmetrisierung. Letztere entsteht durch Neuanordnung der horizontalen Schnitte von A zu einem Rotationskörper. Im ersten Teil dieser Arbeit wird eine vollständige Charakterisierung des Gleichheitsfalls der Schwarzungleichung hergeleitet. Zudem wird eine Verallgemeinerung der Schwarzungleichung für Funktionale mit vorgeschriebener mittlerer Krümmung bewiesen. Dabei sind die betrachteten Krümmungen Maße, welche bestimmte isoperimetrische Bedingungen und Monotonieeigenschaften erfüllen. Im zweiten Teil betrachten wir den bekannten Regularitätssatz von Massari von 1975, der besagt, dass der reduzierte Rand einer Teilmenge A von R^n eine C^{1,\alpha}-Untermannigfaltigkeit mit \alpha=(p-n)/(4p) ist, wenn A eine variationelle mittlere Krümmung in L^p hat und p>n gilt. Wir zeigen, dass auch jede C^{1,\alpha}-Menge eine entsprechende Krümmung in L^p für alle p<(1+\alpha)/(1-\alpha) besitzt und führen Gegenbeispiele für den Fall p>(1+\alpha)/(1-\alpha) an. Zudem beweisen wir, dass Massaris Regularitätstheorem in einer verbesserten und optimalen Version mit \alpha=(p-n)/(p+1) gilt. Dazu wird das parametrische Problem in ein nichtparametrisches überführt und Methoden der partiellen Regularitätstheorie angewandt.