Testing under a Modified Cox Regression Model

Abstract

The determination of the influence of covariates on survival times is a common issue in biomedical research. The interaction between covariates and survival times can be specified by the Modified Cox Regression Model (MCRM). This model incorporates crucial aspects of the popular and frequently applied Cox Regression Model and the basic concept of the rank tests with estimated scores provided by Behnen and Neuhaus. On the basis of localized, parametric sub-models of the MCRM, tests for various hypotheses are rigorously developed.

The considered models are stated as counting process models, therefore a general result on asymptotic normality for such models is discussed and applied to localized, parametric sub-models of the MCRM. Using the likelihood ratio test statistic of the limit experiment, asymptotically unbiased and asymptotically admissible tests are derived.

In order to receive test statistics that are independent of the special choice of the underlying localized, parametric sub-model of the MCRM, sequences of hardest parametric sub-models are considered. In particular, statistical considerations are made to shape and provide a comprehensible and coherent definition of sequences of hardest parametric sub-models.

Examples addressing the applicability of the MCRM are given and the connection to known results is shown. Moreover, the underlying general assumptions are investigated in detail for important special cases. Additionally, a descriptive illustration of the tests is provided by presenting them as projective-type tests.

Finally, a permutation method to determine critical values is introduced. The resulting conditional permutation tests are asymptotically equivalent to the above constructed tests, but keep the level even for finite sample-sizes in certain situations.

Die Bestimmung des Effekts von Kovariablen auf Überlebenszeiten ist eine in der biomedizinischen Forschung häufig auftretende Fragestellung. Das Zusammenspiel zwischen Kovariablen und Überlebenszeiten kann mit dem modifizierten Cox'schen Regressionsmodell (MCRM) beschrieben werden. Dieses Modell verbindet die wesentlichen Aspekte des populären und häufig angewandten Cox'schen Regressionsmodells mit dem Konzept der Rangtests mit geschätzten Gewichten von Behnen und Neuhaus. Auf der Grundlage von lokalisierten, parametrischen Teilmodellen des MCRM werden Tests für verschiedene Hypothesen entwickelt.

Die betrachteten Modelle werden als Zählprozessmodelle formuliert, deshalb wird ein allgemeines Resultat über asymptotische Normalität für solche Modelle erörtert und auf lokalisierte, parametrische Teilmodelle des MCRM angewandt. Unter Verwendung der Likelihood-Quotienten-Teststatistik des Limesexperiments werden asymptotisch unverfälschte und asymptotisch zulässige Tests hergeleitet.

Um Tests zu erhalten, die von einer speziellen Wahl des lokalisierten, parametrischen Teilmodells unabhängig sind, werden Folgen von härtesten parametrischen Teilmodellen betrachtet. Insbesondere wird aufgrund von statistischen Überlegungen eine anschauliche und verständliche Definition der härtesten parametrischen Teilmodelle entwickelt.

Weiterhin werden Beispiele, die die Anwendungsmöglichkeiten des MCRM demonstrieren, diskutiert und die Verbindung zu bekannten Resultaten aufgezeigt. Auch werden die allgemeinen Voraussetzungen für wichtige Spezialfälle näher untersucht. Durch den Nachweis, dass es sich bei den vorgestellten Verfahren um Projektionstests handelt, wird zusätzlich eine anschauliche Deutung der Ergebnisse gegeben.

Abschließend wird eine Permutationsmethode vorgestellt, um kritische Werte für die Tests zu bestimmen. Die so konstruierten bedingten Permutationstests sind asymptotisch äquivalent mit den oben behandelten Tests, aber halten das Niveau bereits bei endlichen Stichprobenumfängen in bestimmten Situationen ein.