Zeitdiskrete Markovsche Entscheidungsprozesse zur optimalen Steuerung von Versicherungsunternehmen : Der stationäre, nichtstationäre und adaptive Fall

Abstract

Diese Arbeit hat das Ziel, ein stochastisches dynamisches Steuerungsmodell für ein Versicherungsunternehmen auf einer diskreten Zeitachse zu entwickeln, welches die betrieblichen Zahlungsströme bzgl. eines aus Gewinn, Sicherheit und Dividenden bestehenden Zielsystems optimal regelt. Dabei haben sich die Methoden der zeitdiskreten Markovschen Entscheidungsprozesse mit reellen Zustands- und Aktionsraum als besonders geeignet erwiesen.

Die Untersuchung gründet sich auf ein stationäres Markovsches Ausschüttungsmodell, d.h. auf einem Entscheidungsmodell mit der erwarteten Summe der zukünftigen Dividendenzahlungen als Zielfunktion. Da das (Neben-)Ziel Sicherheit bei der Konstruktion der Menge der zulässigen Ausschüttungen berücksichtigt wird und der erwirtschaftete Gewinn bei finanzieller Stärke vollständig als Dividendenzahlung an die Unternehmenseigner zurückfließt, genügt dieses Modell den praxisbezogenen Vorstellungen einer optimalen Unternehmenspolitik.

Der zentrale Schlüssel zur Bestimmung optimaler Strategien ist die Optimalitätsgleichung der Dynamischen Programmierung, mit der man jeweils für eine Stufe die optimale Entscheidung erhält. Für eine Reihe von Varianten des Grundmodells werden nach diesem Prinzip die optimalen Strategien bestimmt, beginnend mit der Annahme eines endlichen Zeithorizonts, insbesondere auch für Modelle mit Rückversicherung, mit Währungsrisiko oder mit Kapitalanlage.

In vielen Fällen ergibt sich bei jeder Stufe die Isotonie der Zielfunktion auf der Menge der zulässigen Ausschüttungen. Dann hat die optimale Politik eine besonders einfache Struktur: Es wird der maximal zulässige Betrag ausgeschüttet. Dadurch wird die Untersuchung der entsprechenden Optimierungsprobleme auch bei unbeschränktem Zeithorizont erleichtert, ebenso die Betrachtung von adaptiven Ausschüttungsmodellen mit Hilfe begleitender Parameterschätzungen oder mit Bayes-Modellen.

In den meisten anderen Modellen liegt wenigstens Konvexität vor und damit die Entscheidung zwischen voller oder keiner Ausschüttung. In diesem Fall muss man in der Regel numerische Lösungsverfahren heranziehen, zum Beispiel das Simulated-Annealing-Verfahren, was naturgemäß nur zu nährungsweiser Optimalität führt.

Durch die Flexibilität des Grundmodells sind auch nichtstationäre Modelle zugelassen. Ebenso ist eine Erweiterung des Zustands- und Aktionsraumes mit zusätzlichen Komponenten möglich, wodurch gewisse Parameter des Modells über eine eigene Dynamik verfügen können. Damit kann auch die Problematik der Spätschäden und der zufälligen Inflation berücksichtigt werden.

Außerdem lässt sich die gleiche Methodik auf ein bankwirtschaftliches Ausschüttungsmodell anwenden, da es lediglich auf die Änderungen des Kapitalzustands in der Zeit ankommt. Dabei ist es unwichtig, welche Vorzeichen die zufallsbedingten Größen haben.

Die in dieser Arbeit vorgestellten und untersuchten Ausschüttungsmodelle sind ein wesentliches und nützliches Werkzeug für viele Aspekte der Strategischen Planung eines Versicherungsunternehmens.