Geometric structures on Lie algebras and the Hitchin flow

Abstract

In this PhD thesis, we consider different geometric structures on six- and seven-dimensional Lie algebras. We achieve a full classification of all the six- or seven-dimensional Lie algebras in certain classes which admit half-flat SU(3)- or cocalibrated G_2-structures, respectively. We also obtain some analogous classification results for the pseudo-Riemannian analogs of the mentioned structures and for other related structures.

Moreover, we determine all cocalibrated G_2-structures, up to Lie algebra isomorphism and scaling, on one particular seven-dimensional Lie algebra. For some of these initial values, we explicitly solve the Hitchin flow and obtain explicit eight-dimensional Riemannian manifolds with holonomy equal to SU(4).

In dieser Doktorarbeit betrachten wir verschiedene geometrische Strukturen auf sechs- und siebendimensionalen Lie-Algebren. Wir klassifizieren alle sechs- bzw. siebendimensionalen Lie-Algebren in bestimmten Klassen, die eine halbflache SU(3)- bzw. kokalibrierte G_2-Struktur zulassen. Wir erzielen auch einige analoge Klassifikationsresultate für die pseudo-riemannschen Analoga der genannten Strukturen und für andere verwandte Strukturen.

Außerdem bestimen wir, bis auf Lie-Algebren Isomorphismen und Skalierungen, alle kokalibrierten G_2-Strukturen auf einer bestimmten siebendimensionalen Lie-Algebra. Für einige dieser Startwerte lösen wir explizit den Hitchin-Fluss und erhalten explizite achtdimensionale riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Holonomie gleich SU(4).