Cohomological Properties of Toric Degenerations of Calabi-Yau Pairs

Abstract

Gross und Siebert haben ,,torische Entartungen” (toric degenerations) eingeführt, um ein besseres Verständnis der Spiegelsymmetrie von Calabi-Yau-Varietäten zu gewinnen. Eine der Hauptideen ist, die torische Entartung aus Daten der entsprechenden unterliegenden affinen Mannigfaltigkeit B aufzubauen. Mithilfe der logarithmischen algebraischen Geometrie war es Gross und Siebert möglich, die Isomorphie der Dolbeault-Kohomologiegruppen der Glättung und der affinen Hodgegruppen von B zu beweisen. Diese Dissertation ist der Versuch, die Entartungskonstruktion auch auf Varietäten mit effektiven antikanonischen Garben (zum Beispiel Fano-Varietäten) zu erweitern. Es wird bewiesen, dass Isomorphismen zwischen den zwei Typen von Dolbeault-Kohomologiegruppen der Glättung (gewöhnliche und logarithmische Dolbeaultgruppen) und den entsprechenden affinen Hodgegruppen von B unter bestimmten technischen Voraussetzungen existieren. Unter den gleichen Voraussetzungen entarten die vier zugehörigen Spektralfolgen gleichzeitig bei E1.

Gross and Siebert have introduced \"toric degenerations\" in order to have a better understanding of the mirror symmetry of Calabi-Yau varieties. One of the main ideas is to construct the toric degenerations from the data of the corresponding underlying affine manifolds B. With the help of logarithmic algebraic geometry, Gross and Siebert were able to prove the isomorphy of the Dolbeault cohomology groups of the smoothings and the affine Hodge groups of B. This dissertation is the attempt to extend the degeneration construction to varieties with effective anticanonical sheaves (for example, Fano varieties). Under some technical assumptions, the isomorphisms between two types of Dolbeault cohomology groups of the smoothing (the ordinary and the logarithmic Dolbeault groups) and the corresponding affine Hodge groups are shown. Under the same assumptions, four related spectral sequences degenerate simultaneously at E1.