High-order Adaptive Discontinuous Galerkin Inundation Modeling

Abstract

Starting from the nodal Discontinuous Galerkin (DG) model presented in Giraldo et al. (2002), we developed and validated a quasi-nodal high-order and well-balanced DG model on an adaptive mesh to solve the two-dimensional one-layer, non-linear shallow water equations for the simulation of quasi-realistic inundation events. The important scales of inundation problems range between several orders of magnitude. However, fine-scale features often occur heavily localized, so that the simulations usually do not need to be finely resolved everywhere in the spatial domain. Therefore, we introduce a dynamically adaptive triangular mesh (see Behrens et al. (2005)), that allows for temporal varying spatial resolution, which reduces the computational complexity. Idealized numerical tests of flooding and drying show a reduction of computational complexity compared to simulations on a uniformly fine mesh. Spurious oscillations destabilize the DG model and affect the accuracy of the numerical solution. To reduce them, slope limiters are employed in an explicit time-stepping scheme. Moreover, the use of the strong form of the equations leads to a well-balanced model with a computational efficient modification that we suggest. A theoretical study on limiters reveals desirable properties and a comparison highlights the strengths and weaknesses of commonly used limiters. Numerical tests are performed to show the accuracy of the DG method in combination with different limiters. In order to improve local convergence rates and conservation properties, we study the viability of higher than second order basis functions in the DG model. The usage of higher-order functions is especially desirable because the majority of problems of interest is smooth almost everywhere. The nodal Lagrange basis of the model, however, leads to stability problems. Therefore, we introduce higher-order Bernstein basis functions and show an improvement with idealized numerical tests. A suitable model for wind stress is essential for storm surge modeling, because the wind is the major driving force in storm surge events. We show a discretization that was first introduced by Holland (1980) and allows to predict wind drag from a given cyclone track using information on the radius of maximum winds as well as the central pressure of the storm. We study idealized storm scenarios in order to detect suitable refinement indicators for the use of the adaptive mesh. First simulation results suggest the practicability of inundation simulations with wind forcings.

Ausgehend von dem in Giraldo et al. (2002) vorgestellten nodalen unstetigen Galerkin (DG) Modell entwickelten und validierten wir ein quasi-nodales wohlbalanciertes DG Modell höherer Ordnung auf einem adaptiven Gitter zur Lösung der zwei-dimensionalen einschichtigen, nichtlinearen Flachwassergleichungen zur Simulation von Überflutungs-ereignissen. Die wichtigsten Skalen von Überflutungsproblemen erstrecken sich über mehrere Größenordnungen. Jedoch treten feinskalige Merkmale häufig stark lokalisiert auf, so dass die Simulation nicht überall fein aufgelöst sein muss. Daher führen wir ein dynamisch adaptives Dreiecksgitter (siehe Behrens et al. (2005)) ein, das eine zeitliche Variation der räumlichen Auflösung ermöglicht, die die Berechnungskomplexität reduziert. Idealisierte numerische Tests von Überflutungen zeigen eine deutliche Reduktion des Rechenaufwands im Vergleich zu Simulationen auf einem uniformen feinen Gitter. Numerische Oszillationen destabilisieren das Modell und beeinflussen die Genauigkeit. Um sie zu reduzieren, werden Slope Limiter in einem expliziten Zeitschrittverfahren verwendet. Die Verwendung der starken Form der Gleichungen in Kombination mit einer Modifikation, die wir präsentieren, stellt zudem sicher, dass das Modell wohlbalanciert ist. Eine theoretische Studie von Slope Limiter verdeutlicht wünschenswerte Eigenschaften und ein Vergleich zeigt die Stärken und Schwächen der am häufigsten verwendeten Limiter auf. Wir testen numerisch die Genauigkeit des DG Verfahrens in Kombination mit verschiedenen Limitern. Um lokale Konvergenzraten und Erhaltungseigenschaften zu verbessern, untersuchen wir die Funktionsfähigkeit von Basisfunktionen höherer als zweiter Ordnung in dem DG Modell. Die Nutzung von Funktion höherer Ordnung ist besonders wünschenswert, weil, die Mehrzahl der Anwendungsprobleme fast überall glatt ist. Der nodale Lagrange Ansatz des Modells führt jedoch zu Stabilitätsproblemen. Daher schlagen wir Bernstein Polynome als Basisfunktionen vor und zeigen mit idealisierten numerischen Tests von Überflutungen eine Verbesserung der Simulation. Ein geeignetes Modell für den Windschub als Hauptantriebskraft ist essentiell für die Sturmflut-Modellierung. Wir zeigen eine Diskretisierung, die zuerst in Holland (1980) eingeführt wurde und studieren idealisierte Sturmszenarien, um geeignete Indikatoren für die Verfeinerung der adaptiven Gitter zu bestimmen. Erste Simulations-ergebnisse deuten darauf hin, dass das Modell für die Anwendung von Sturmflut Simulationen praktikabel ist.