Computing covariant Lyapunov vectors – A convergence analysis of Ginelli’s algorithm

Abstract

Covariant Lyapunov vectors (CLVs) are intrinsic modes that describe long-term linear perturbations of solutions of dynamical systems. Similar to eigenmode decompositions for steady states, they form a basis of the tangent space that links growth rates to directions invariant under the linearized flow along a given reference trajectory. In this sense CLVs play the role of eigenvectors for Lyapunov exponents. Due to an increased interest in applications, several algorithms were developed to compute CLVs. The Ginelli algorithm is among the most commonly used. Although several properties of the algorithm have been analyzed, mathematical results are quite rare. This thesis combines first mathematically rigorous convergence results in an analysis of Ginelli’s algorithm.

An important factor of our analysis is the multiplicative ergodic theorem, which provides existence of CLVs. We restrict our analysis to two different versions of the theorem, one for finite-dimensional and one for infinite-dimensional random dynamical systems. While the former assumes a fully invertible system, meaning that the base flow and the linear propagator are invertible, the latter only requires a semi-invertible setting in which the linear propagator may not be invertible. Using different approaches, we prove convergence of Ginelli’s algorithm in these settings. The proof for finite dimensions links CLVs to singular vectors of the linear propagator and investigates so-called admissible input vectors. Through careful measure estimates of the set of admissible input vectors, we are able to prove convergence. Since estimates with respect to Lebesgue measure are not possible in infinite dimensions, we require different techniques to proof convergence. Among others, we derive an auxiliary result about the existence and the genericity of common complements for families of countably many subspaces.

The precise notion of convergence differs between discrete and continuous time. Namely, the discrete-time version of Ginelli’s algorithm converges for almost every input, whereas the continuous-time version only converges in measure. Here, “almost everywhere” should be understood with respect to Lebesgue measure in finite dimensions and with respect to prevalence in infinite dimensions. In addition to the pure convergence statements, our theorems link the speed of convergence to Lyapunov exponents. It turns out that Ginelli’s algorithm converges exponentially fast with a rate given by the spectral gap between Lyapunov exponents.

Kovariante Lyapunov Vektoren (KLVs) sind intrinsische Modi, die das Langzeitverhalten von Störungen entlang von Lösungen dynamischer Systeme beschreiben. Ähnlich wie Eigenvektoren für stationären Lösungen formen KLVs eine Basis des Tangentialraums, welche den Wachstumsraten von Störungen Richtungen zuordnet, die invariant unter dem linearisierten Fluss entlang der Referenzlösung sind. In diesem Sinne kann man KLVs als eine Art von Eigenvektoren für Lyapunov Exponenten auffassen.

Aufgrund des hohen Interesses an KLVs bei Anwendern wurden mehrere Algorithmen zur Berechnung von KLVs entwickelt. Einer der meistgenutzten ist Ginellis Algorithmus. Obwohl einige Eigenschaften des Algorithmus bereits untersucht worden sind, sind mathematische Ergebnisse selten. Diese Dissertation verbindet erste mathematisch rigorose Ergebnisse zu einer Analyse von Ginellis Algorithmus. Ein wichtiger Bestandteil der Analyse ist der Multiplikative Ergodensatz, der die Existenz von KLVs liefert. Wir beschränken unsere Analyse auf zwei Versionen des Satzes, eine für endlichdimensionale und eine für unendlichdimensionale dynamische Systeme mit Zufallsvariable. Während die erste Version annimmt, dass der grundlegende Fluss und der lineare Propagator invertierbar sind, kommt die zweite Version ohne die Annahme über Invertierbarkeit des linearen Propagators aus. Wir beweisen die Konvergenz von Ginellis Algorithmus in diesen Fällen mittels verschiedener Ansätze. Der Beweis im Endlichdimensionalen verbindet KLVs mit Singulärvektoren des linearen Propagators und untersucht sogenannte zulässige Inputvektoren. Durch vorsichtige Abschätzungen des Lebesgue-Maßes der Menge von zulässigen Vektoren sind wir in der Lage, die Konvergenz zu beweisen. Da solche Abschätzungen im Unendlichdimensionalen nicht möglich sind, brauchen wir für diesen Fall andere Mittel, um die Konvergenz zu zeigen. Unter anderem leiten wir ein Hilfsresultat über die Existenz und die Generizität von Unterräumen her, die komplementär zu einer Familie von abzählbar vielen gegebenen Unterräumen sind.

Die genau Form der Konvergenz unterscheidet sich im Falle diskreter und stetiger Zeit. Nämlich konvergiert die Version von Ginellis Algorithmus mit diskreter Zeit für fast jeden Input, während die Version mit stetiger Zeit nur im Maße konvergiert. Der Ausdruck “fast jeden” im Endlichdimensionalen ist im Sinne des Lebesgue- Maßes zu verstehen und im Unendlichdimensionalen im Sinne der Prävalenz. Zusätzlich zu den reinen Konvergenzaussagen verbinden unsere Resultate die Konvergenzgeschwindigkeit mit den Lyapunov Exponenten. Es stellt sich heraus, dass Ginellis Algorithmus exponentiell schnell konvergiert mir einer Rate, die durch den spektralen Abstand zwischen Lyapunov Exponenten gegeben ist.