Homogeneous almost hypercomplex and almost quaternionic pseudo-Hermitian manifolds with irreducible isotropy groups

Abstract

In this thesis we consider homogeneous almost hypercomplex respectively almost quaternionic pseudo-Hermitian manifolds with index 4, which have an H-irreducible isotropy group. We show that these manifolds are already pseudo-Hyper-Kähler respectively quaternionic pseudo-Kähler if their dimension is at least 16 respectively 24. For that we show that some multilinear forms on H1;n vanish if they are invariant under SO^0(1; n). We classify all connected H-irreducible Lie subgroups of Sp(1, n) up to conjugacy. Furthermore we show that the considered homogeneous spaces are locally symmetric, if the Lie algebra of the isotropy group itself acts H-irreducibly. In the hyper-Kähler case it turns out that the manifolds are locally isometric to the quaternionic Minkowski space Mink_{n+1}(H).

In dieser Doktorarbeit betrachten wir homogene fast hyperkomplexe bzw. fast quaternionische pseudo-Hermitsche Mannigfaltigkeiten mit Index 4, die eine H-irreduzible Isotropiegruppe besitzen. Wir zeigen, dass diese Mannigfaltigkeiten bereits pseudo-Hyperkähler bzw. quaternionisch pseudo-Kähler sind, falls die Dimension mindestens 16 bzw. 24 beträgt. Hierfür zeigen wir, dass gewisse Multilinearformen auf dem H1;n verschwinden, sofern sie invariant unter SO^0(1, n) sind. Weiter klassifizieren wir alle zusammenhängenden H-irreduziblen Lie Untergruppen von Sp(1, n) bis auf Konjugation. Zudem zeigen wir, dass die betrachteten homogenen Räume lokal symmetrisch sind, falls die Lie Algebra der Isotropiegruppe selbst H-irreduzibel wirkt. Im hyperkähler Fall sind die Mannigfaltigkeiten sogar lokal isometrisch zum quaternionischen Minkowski-Raum Mink_{n+1}(H).