On the Relation between Quantized Teichmüller Spaces and the Free Field Quantization of Liouville Theory

Abstract

We investigate how the quantum Teichmüller theory is encoded in the free field quantization of Liouville theory. We show that the 4-point conformal blocks of Liouville theory contain the eigenstates of length operators of quantum Teichmüller theory in a certain representation. After giving a heuristic explanation for this observation, we formulate a conjectural generalization for n punctures and define a representation of the algebra of quantized shear coordinates for the n-punctured sphere on the Liouville Hilbert space. We present calculations in the attempt to prove the conjecture for n=5. Finally, we show that, on the classical level, each Teichmüller space may be identified with a quotient of the Liouville phase space and investigate how an analogous reduction may be realized on the quantum level.

Wir untersuchen wie die Quanten-Teichmüllertheorie in der Freifeldquantisierung der Liouvilletheorie dekodiert ist. Wir zeigen, dass die 4-Punkt konformen Blöcke der Liouvilletheorie die Eigenzustände von Längenoperatoren der Quanten-Teichmüllertheorie in einer bestimmten Darstellung enthalten. Nachdem wir eine heuristische Erklärung für diese Beobachtung geliefert haben, formulieren wir eine Vermutung für die Verallgemeinerung dieser Beobachtung auf n Punktierungen und definieren eine Darstellung der Algebra der quantisierten Scherkoordinaten für die n-punktierte Sphäre auf dem Hilbertraum der Liouvilletheorie. Wir präsentieren Rechnungen in dem Versuch, die Vermutung für n=5 zu beweisen. Schließlich zeigen wir auf der klassischen Ebene, dass jeder Teichmüllerraum mit einem Quotienten des Phasenraums der Liouvilletheorie identifiziert werden kann und untersuchen wie eine analoge Reduktion auf der Quantenebene realisiert werden kann.