Abschätzungen von Arakelov Schnittzahlen für eine Familie von superelliptischen Kurven

Abstract

In dieser Arbeit untersuchen wir die Arithmetik und Geometrie für eine bestimmte Familie von superelliptischen Kurven. Das erste zentrale Ergebnis der Arbeit ist die Konstruktion eines regulären semistabilen Modelles für diese Familie von superellitptischen Kurven. Dazu bestimmen wir zuerst für alle Mitglieder der Familie ein semistabiles Modell. Dieses Ergebnis verwenden wir, um daraus ein reguläres Modell mit Hilfe bekannter Theorie zu konstruieren. Dabei nutzen wir die Eigenschaft des semistabilen Modelles aus, dass nur Doppelpunkte als Singularitäten auftreten können und bekannt ist, wie diese aufgelöst werden. Diese Auflösung hängt von der lokalen Beschaffenheit dieser Doppelpunkte ab und tritt im regulären Modell in der Form auf, dass diese lokale Beschaffenheit die Anzahl der Komponenten bestimmt. Desweiteren betrachten wir als Anwendung in der Arakelov Theorie obere und untere Schranken der arithmetischen Selbstschnittzahl für diese Familie von Modellen. Dabei verwenden wir Methoden von Kühn für die oberen und Kühn und Müller für die unteren Schranken. Die berechneten Schranken hängen ebenfalls von der lokalen Beschaffenheit der Doppelpunkte des semistabilen Modelles sowie dem Verzweigungsgrad der jeweiligen Primstelle ab.