Log geometric techniques for open invariants in mirror symmetry

Abstract

In the first part of this thesis we suggest an algebraic geometric approach to the Fukaya category in symplectic geometry in terms of punctured log Gromov-Witten theory. Our main object of study is a degeneration of elliptic curves, namely the Tate curve. This is the easiest non-trivial example of a toric degeneration in the Gross-Siebert program concerning mirror symmetry. We propose that some version of symplectic cohomology of the total space of the Tate curve minus the central fibre can be understood in terms of certain stable log maps which we call log corals. This uses tropical geometry on a half space. We set up a counting for log corals in terms of their tropicalizations, namely tropical corals. The results are expected to generalise to higher dimensional Calabi-Yau manifolds.

In the second part we study more general toric degenerations and the topology of their real loci. We provide generalities on real structures in log geometry and their lift to Kato-Nakayama spaces. Examples include real toric degenerations of K3 surfaces.

Im ersten Teil der Arbeit schlagen wir einen algebraisch-geometrischen Zugang zur Fukaya-Kategorie in der symplektischen Geometrie über punktierte Log-Gromov-Witten-Invarianten vor. Im Zentrum der Untersuchungen steht eine entartende Familie elliptischer Kurven, genannt Tate-Kurve. Diese ist das einfachste nicht-triviale Beispiel einer torischen Entartung im Gross-Siebert-Programm zur Spiegelsymmetrie. Wir schlagen vor, dass eine Version der symplektischen Kohomologie des Totalraums der Tate-Kurve minus der zentralen Faser in Form von bestimmten stabilen Log-Abbildungen verstanden werden kann, die wir als Log-Korallen bezeichnen. Dies verwendet tropische Geometrie auf einem Halbraum. Wir haben eine Zählung für Log-Korallen in Bezug auf ihre Tropisierungen, nämlich tropischen Korallen. Es wird erwartet, dass die Ergebnisse auf höherdimensionale Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten verallgemeinert werden können.

Im zweiten Teil untersuchen wir allgemeinere torische Entartungen und die Topologie ihrer reellen Orte. Wir legen die Grundlagen von reellen Strukturen in der Log-Geometrie und deren Hochhebung zu Kato-Nakayama Räumen. Beispiele sind reelle torische Entartungen von K3-Flächen.