Kinetic-induced moment systems for nonlinear balance laws

Abstract

Based on the relation between kinetic-like transport equations and non-linear balance laws, we use the order of magnitude method in order to derive kinetic-induced moment systems for the spatially one-dimensional scalar case and the 2×2 system, which will be then "eps"-coupled with their higher order terms. Next, we prove that in the formal limit "eps" going to zero, the higher order moment systems tend to the original balance law plus a new variable that we call W(x,t), which may act as a monitoring function to detect special solutions like shock and rarefaction waves. Two main example are treated: the inviscid Burgers equation and the shallow water system, which are then used to perform numerical experiments where W(x,t) is used as refinement criteria for adaptive techniques. In addition, we study the spectral characteristics of the derived moment system for the inviscid Burgers equation and its use as a ”subgrid closure” model when using Fourier-Galerkin spectral approximations by comparing different amounts of resolved scales with different values of the smallness parameter "eps".

Basierend auf dem Verhältnis zwischen kinetisch geformten Transportgleichungen und nichtlinearem Gleichgewichtsgesetz, nutzen wir die Größenordnungsmethode, um kinetisch induzierte Momentsysteme für den räumlich eindimensionalen Skalarfall und das 2 × 2 System, welches dann "eps"-gekoppelte mit den Termen höherer Ordnung, abzuleiten. Als nächstes beweisen wir, dass im formalen Limes "eps" auf Null gehen, das höhere Ordnungssystemmoment zum ursprünglichen Gleichgewichtsgesetz und einer neuen Variablen, die wir W(x,t) nennen und die als Monitoringfunktion zum Aufdecken von speziellen L¨osungen wie Schockund Verdünnungswellen dienen kann, tendiert. Zwei Hauptbeispiele werden behandelt: die inviskose Burgersgleichung und das Flachwassersystem, welche dann genutzt werden, um numerische Experimente, bei denen W(x,t) als Exaktifizierungskriterium für die Adaptivtechnik dient, durchzuführen. Zudem erforschen wir die Spektralcharakteristiken des erhaltenen Momentsystems für die inviskose Burgersgleichung und deren Nutzen als ein ”Subnetz Abschluss” Model, indem wir die Fourier-Galerkin Spektralapproximationen durch den Vergleich von unterschiedlichen Mengen aufgelöster Skalen mit unterschiedlichen Werten des Kleinheitsparameters "eps" benutzen.