On Tangles and Trees

Abstract

In this dissertation, we study various notions of tangles and decompositions over trees and prove structure theorems for graphs excluding specific types of tangles. Each type of tangle or tree considered may be regarded as a way of giving a precise meaning to intuitive concepts of structural complexity and cohesion of a graph. The thesis may be loosely divided into three parts.

The first part highlights metric aspects of graphs in relation to their structural complexity. In the second part we expand the theory of k-blocks and use it to derive structure theorems for three types of tangles. In the third and last part, we go beyond the realm of graphs and enter the sphere of abstract separation systems, taking steps towards an axiomatic theory of tangles.

In dieser Dissertation untersuchen wir verschiedene Arten von Knäueln und Zerlegungen entlang von Bäumen und beweisen Struktursätze für Graphen, die bestimmte Arten von Knäueln nicht enthalten. Jede Art von Knäuel kann als Möglichkeit aufgefasst werden, intuitiven Konzepten struktureller Komplexität und Kohäsion eines Graphen eine präzise Bedeutung zu verleihen. Diese Arbeit lässt sich grob in drei Teile unterteilen.

Der erste Teil handelt von metrischen Eigenschaften von Graphen in Relation zu ihrer strukturellen Komplexität. Im zweiten Teil erweitern und vertiefen wir die Theorie der k-Blöcke und verwenden diese, um Struktursätze für drei verschiedene Arten von Knäueln zu beweisen. Der dritte und letzte Teil enthält weitere Schritte hin zu einer abstrakten, axiomatischen Theorie von Knäueln, losgelöst von ihrem graphentheoretischen Ursprung.