Analyse von tail-abhängigen Risikofunktionalen

Abstract

Im Bereich der Risiko- und Extremwerttheorie gilt es u.a., einer Risikoverteilung mittels eines geeigneten Risikomaßes $rho$ einen Wert zuzuordnen. Ist $X$ zum Beispiel eine Gewinn- bzw. Verlustposition eines Anlageportfoliosmit Verteilung $F_{X}$, so ist es für ein Unternehmen oft wichtig, darüber in Kenntnis zu sein, wie viel Sicherheitskapital $rho(F_{X})$ es zurücklegen muss, um beispielsweise auch im Extremfall solvent zu bleiben. Auf Grundlage dieses Werts können also wichtige Investitions- und Finanzierungsentscheidungen seitens des Risikomanagements unterstützt werden. Nun ist $F_X$ im Allgemeinen unbekannt, weshalb $rho(F_{X})$ geschätzt werden muss. In dieser Doktorarbeit liegt das Hauptaugenmerk auf Risikomaßen, welche nur vom Tail der Verteilung abhängen, d.h. von extremen Bereichen der Verteilung. Insbesondere werden die Bedingten Tail-Momente nach Methni et. al. und das Expektil nach Newey und Powell als Risikomaße zum Gegenstand der Untersuchung gemacht. Sie können im Wesentlichen als Funktional der sogenannten Tail-Quantilfunktion geschrieben werden.

In the area of risk and extreme value theory one of the main tasks is to assign a value to a certain given risk distribution using a risk measure $rho$. Say for instance $X$ is a profit or loss position of an investment portfolio with distribution function $F_X$. Then, a company is often interested in the amount of solvency capital $rho(F_{X})$ it has to reserve to ensure its solvency in extreme scenarios. Important investment and financing decisions in risk management can thus be based on such values. In general, the distribution function $F_X$ is unknown and therefore the quantity $rho(F_X)$ has to be estimated. In this thesis, risk measures that only depend on the tail of the distribution, i.e. of extreme values will be considered. In particular, the focus will be set on the conditional tail moments first introduced by Methni et. al. and the expectile first considered by Newey and Powell. They both can be expressed as a functional of the so called tail quantile function.