The double obstacle problem for functionals with linear growth

Abstract

Hindernisprobleme treten in vielen verschiedenen Bereichen der Mathematik auf. In dieser Arbeit werden die bekannten Ergebnisse aus dem Artikel "Relaxation of the non-parametric Plateau problem with an obstacle" von M. Carriero, G. Dal Maso, A. Leaci, and E. Pascali verbessert und es wird gezeigt, dass zwei der dort angegebenen Anforderungen an den Integranden für die Relaxierung von Hindernisproblemen für nichtparametrische Funktionale mit linearem Wachstum weggelassen werden können. Dies wird durch eine genauere Betrachtung der Rezessionsfunktion und Modifikation des De-Giorgi-Maßes erreicht. Weiterhin wird eine Darstellungsformel für die Relaxierung des Doppelhindernisproblems bewiesen und somit ein Äquivalent zum parametrischen Doppelhindernisproblem für das Flächenfunktional, welches von De Giorgi hergeleitet wurde, auch für das nichtparametrische Problem gezeigt. Diese basiert auf der Verwendung eines Abschneidearguments, welches zusätzlich zu neuen Approximationsresultaten führt. In den Beweis dieses Abschneidearguments geht die fast-überall Konvergenz für die Gradienten einer in Fläche konvergierenden Folge von BV-Funktionen ein, welche ebenfalls bewiesen wird. Zusätzlich werden Randwertaufgaben im Zusammenhang mit Doppelhindernisproblemen behandelt, welche in einem verallgemeinerten Sinne normale Randwerteprobleme mit oder ohne Hindernisse als auch Gebiete mit inneren Randstücken berücksichtigen können. Mit der Relaxierung des Doppelhindernisproblems für das Flächenfunktional wird die Äquivalenz des nichtparametrischen und parametrischen Hindernisproblems mit der Herangehensweise für den Graphenfall ohne Hindernis und mit Hilfe von Approximationen bewiesen. Des Weiteren wird ein ähnlicher Ansatz genutzt um den Satz über die Relaxierung des Doppelhindernisproblems für das Flächenfunktional etwas zu verallgemeinern. Schließlich werden Variationsungleichungen für Funktionale mit linearem Wachstum und insbesondere für die Relaxierungen von Hindernisproblemen entwickelt. Dafür werden hauptsächlich einseitige Richtungsableitungen verwendet. Für den Hindernisfall wird eine reduzierte Variationsungleichung angegeben, die hinreichend ist, um Minimierer der Relaxierung des zugehörigen Doppelhindernisproblems zu sein.

Obstacle problems appear in many different fields of mathematics. In this thesis, we improve the known results in "Relaxation of the non-parametric Plateau problem with an obstacle" from M. Carriero, G. Dal Maso, A. Leaci, and E. Pascali by removing two of the stated prerequisites on the integrand for the relaxation of single obstacle problems for non-parametric functionals of linear growth by using insights on the recession function and modifications of the De Giorgi measure. Further, we identify the relaxation of the double obstacle problem and obtain a full counterpart to the parametric double obstacle problem for the area functional treated by De Giorgi by using a truncation argument which leads to new approximation results. For the proof of that truncation, a convergence almost everywhere result is established for gradients of an in area converging sequence of BV functions. Additionally, we are able to prescribe boundary values in a broader sense to the double obstacle problem, which allows us to treat usual Dirichlet problems with or without obstacles as well as ‘inner’ boundary parts on a slit domain. With the relaxation formula for the double obstacle problem to the area functional, we prove the equivalence of the non-parametric and parametric obstacle problem in the graph setting using tools from the obstacle-free case and approximations. Further, we use a similar approach to slightly generalize the relaxation result for the double obstacle problem for the area functional. Finally, we develop variational inequalities for functionals of linear growth and especially for relaxations of obstacle problems relying on one-sided directional derivatives. For the obstacle case, a reduced variational inequality is stated, which is sufficient to be a minimizer of the relaxation of the corresponding double obstacle problem.