Volltextdatei(en) vorhanden
Titel: On the Asymptotics of the LRT in Mixture Models
Sonstige Titel: Über die Asymptotik des LRT in Mischungsmodellen
Sprache: Englisch
Autor*in: Ruck, Astrid
Schlagwörter: Likelihood Quotiententest; Komponentenanzahl; Mischungsmodelle; Asymptotics; Likelihood Ratio Test; Number of Components; Mixture Models
GND-Schlagwörter: Asymptotik
Erscheinungsdatum: 2005
Tag der mündlichen Prüfung: 2005-04-19
Zusammenfassung: 
The subject of this thesis is the asymptotic distribution of the Likelihood Ratio Test (LRT) statistic of hypotheses about the number of components in finite mixture models. Our starting point are the sufficient conditions for the existence of a limiting distribution of the LRT statistic for testing q against p components given by Dacunha-Castelle and Gassiat (1999). An analysis shows that these requirements do not hold, for instance, for "simple" mixtures of univariate normal distributions with heterogeneity of variances. After our modifications of the sufficient conditions given by Dacunha-Castelle and Gassiat (1999) a wider range of applications of their theory is offered.





Additionally, we derive sufficient conditions for the existence of a limiting distribution of the LRT statistic for mixtures of general minimal exponential families. Afterwards we provide a set of various (new) examples for Gaussian-distributions, Gamma-distributions and discrete distributions possessing these properties. Our first modification offers testing for q against q+1 components of bivariate normal distributions with unknown (arbitrary) covariance matrix and our second modification offers testing homogeneity against a two population mixture of univariate normal distributions with heterogeneity of variances, if the component parameter space is suitably restricted.




Finally, a method for simulating the quantiles the asymptotic distribution is introduced. Under the null hypothesis the LRT statistic converges in distribution to a supremum of a functional of a suitable Gaussian process, which we approximate with the aid of its final-dimensional marginal distributions. Considering as example a simple test of homogeneity of univariate normal distributions with unknown mean we give numerical results of this general method. In this context we introduce a modified spectral factorization on the resulting covariance matrix, whose outcome is a product of surprisingly low dimensional matrices and leads to considerably short computation times. A comparison of the power of the simulated asymptotic and exact quantiles shows that even for a small sample size the power is nearly the same.

In dieser Arbeit wird die asymptotische Verteilung der Likelihood Ratio Test (LRT) Statistik von Hypothesen über die Anzahl der Komponenten in endlichen Mischungsmodellen untersucht.
Unser Ausgangspunkt sind die hinreichenden Bedingungen für die Existenz einer Grenzverteilung der LRT Statistik für den Test von q gegen p Komponenten von Dacunha-Castelle und Gassiat (1999). Eine Analyse zeigt, daß diese Voraussetzungen, die sich auf allgemeine Mischungsmodelle beziehen, beispielsweise nicht für "einfache" Mischungen von univariaten Normalverteilungen mit Varianzheterogenität erfüllt sind. Durch unsere Modifikationen der hinreichenden Bedingungen von Dacunha-Castelle und Gassiat (1999) wird ihrer Theorie ein breiteres Anwendungsspektrum verliehen.




Zusätzlich leiten wir hinreichende Bedingungen für die Existenz einer Grenzverteilung der LRT Statistik für Mischungen allgemeiner minimaler Exponentialfamilien her. Anschließend geben wir eine Reihe (neuer) Beispiele für Gauß-Verteilungen, Gamma-Verteilungen und diskrete Verteilungen an, die diese Eigenschaften aufweisen. Unsere erste Modifikation ermöglicht einen Test von q gegen q+1 Komponenten bivariater Normalverteilungen mit unbekannter (beliebiger) Kovarianzmatrix und unsere zweite Modifikation ermöglicht einen Homogenitätstest gegen zwei Populationen univariater Normalverteilungen mit Varianzheterogenität, wenn der Komponentenparameterraum geeignet eingeschränkt wird.




Schließlich wird eine Methode für die Simulation der Quantile der asymptotischen Verteilung vorgestellt. Unter der Nullhypothese konvergiert die LRT Statistik in Verteilung gegen ein Supremum eines Funktionals eines geeigneten Gaußprozesses, den wir mit Hilfe seiner endlichdimensionalen Randverteilungen approximieren. Am Beispiel eines einfachen Homogentitätstests von univariaten Normalverteilungen mit unbekanntem Erwartungswert geben wir numerische Ergebnisse
für dieses allgemeine Verfahren an. In diesem Zusammenhang führen wir eine modifizierte Spektralzerlegung der entsprechenden Kovarianzmatrix ein, die ein Produkt aus überraschend niedrigdimensionalen Matrizen ist und zu bemerkenswert kurzen Rechenzeiten führt. Ein Vergleich der Power der simulierten asymptotischen und exakten Quantile zeigt, daß schon für einen relativ kleinen Stichprobenumfang die Power fast identisch ist.
URL: https://ediss.sub.uni-hamburg.de/handle/ediss/944
URN: urn:nbn:de:gbv:18-24636
Dokumenttyp: Dissertation
Betreuer*in: Daduna, Hans (Prof. Dr.)
Enthalten in den Sammlungen:Elektronische Dissertationen und Habilitationen

Dateien zu dieser Ressource:
Datei Beschreibung GrößeFormat  
OHNE.PDF1.68 MBAdobe PDFÖffnen/Anzeigen
Zur Langanzeige

Diese Publikation steht in elektronischer Form im Internet bereit und kann gelesen werden. Über den freien Zugang hinaus wurden durch die Urheberin / den Urheber keine weiteren Rechte eingeräumt. Nutzungshandlungen (wie zum Beispiel der Download, das Bearbeiten, das Weiterverbreiten) sind daher nur im Rahmen der gesetzlichen Erlaubnisse des Urheberrechtsgesetzes (UrhG) erlaubt. Dies gilt für die Publikation sowie für ihre einzelnen Bestandteile, soweit nichts Anderes ausgewiesen ist.

Info

Seitenansichten

11
Letzte Woche
Letzten Monat
geprüft am 18.05.2021

Download(s)

6
Letzte Woche
Letzten Monat
geprüft am 18.05.2021
Werkzeuge

Google ScholarTM

Prüfe