Graph-theoretical analysis of local and latent symmetries in physical systems

Abstract

The overarching topic of this thesis is the study of different types of symmetries in physical systems that are described by a discrete model, a prominent example being condensed matter systems in the tight-binding approximation.

In the first chapter of this thesis, we focus on one-dimensional tight-binding chains that feature local symmetries, that is, symmetries of a part of the system. We employ two different pathways for the treatment of such locally symmetric chains. The first pathway is a recently introduced framework which unveils the impact of local symmetries through certain current-like correlators, the so-called non-local currents. The framework is experimentally verified by measuring these non-local currents in a system of so-called evanescently coupled optical waveguides. The second pathway is a framework of locally symmetric resonators, which we develop in the context of binary tight-binding chains. In these chains, the next-neighbor coupling is constant, while the on-site potentials may take two different values. In particular, we investigate the cases where the on-site potential binary values are ordered according to the Fibonacci, Thue-Morse, and Rudin-Shapiro sequence. Among others, our framework explains the finding that, for low coupling strength, the eigenstates of these chains feature locally symmetric localization patterns.

The second chapter deals with the phenomenon of compact localized states (CLSs). Such states are eigenstates of a discrete system, e.g., a tight-binding model, which have compact support. That is, they have non-vanishing elements only on a (usually small) part of the system. This extreme kind of localization is caused by destructive interference, which is in turn allowed for by a suitable interplay of coupling strengths and the geometry of the system. In many cases, the systems supporting compact localization have been found to feature local symmetries, and we investigate the connection between these two phenomena in more detail. By applying insights from graph theory, we find that certain classes of local symmetries can indeed be systematically linked to compact localization. We further use these insights to derive a powerful construction principle to equip tight-binding systems with CLSs. In particular, this principle allows to equip each unit cell of a lattice with a CLS at the same energy. This leads to macroscopic degeneracy and thus a completely flat band. Our principle allows to tune the position of this flat band without changing the remaining bands of the lattice. Apart from developing this construction principle and applying it to tight-binding lattices, we further show that local symmetry induced compact localization is also possible in long range interacting systems of coupled dipole scatterers, which we analyze in terms of the so-called dyadic Green’s matrix.

In the third chapter, we investigate different methods of transferring a CLS across a tight-binding system. The first of these methods is optimal control theory, where the Hamiltonian is changed in an optimized, time-dependent manner to allow for the high-fidelity transfer of CLSs. For the second method, we modify the principles of so-called perfect state transfer and pretty good state transfer to enable the transfer of CLSs. These principles have originally been developed for the faithful transfer of excitations of a single site across a system. In particular, by fine-tuning the underlying static Hamiltonian, these two methods achieve the transfer of the state by pure time-evolution. Unfortunately, direct application of these methods to our aim of transferring CLSs is not possible, since our CLSs are not single-site excitations, but anti-symmetric excitations of a dimer, that is, two-site excitations. However, we show that one can easily modify a Hamiltonian featuring perfect or pretty good state transfer of single-site excitations such that the high-fidelity transfer of CLSs is possible.

In the fourth chapter of this thesis, the focus lies on the concept of latent symmetries. A Hamiltonian features a latent symmetry if a suitable dimensional reduction—the so-called isospectral reduction—of this Hamiltonian features a symmetry. We provide methods for the construction of systems with such latent symmetries. We further link non-abelian latent symmetries to spectral degeneracies of the underlying Hamiltonian. Moreover, we use a special class of latent symmetries for the construction of compact localized states and flat bands. Lastly, we unite the two topics of this thesis by showing that there is a profound connection between local and latent symmetries. Namely, a latent symmetry is nothing else but a local symmetry not only in the original Hamiltonian matrix, but also in all of its matrix powers.

Das übergreifende Thema dieser Arbeit ist die Untersuchung verschiedener Arten von Symmetrien in physikalischen Systemen die durch ein diskretes Modell beschrieben werden, beispielsweise im Rahmen der tight-tinding-Approximation.

Im ersten Kapitel dieser Arbeit konzentrieren wir uns auf eindimensionale tight-binding Ketten, welche lokale Symmetrien aufweisen. Unter einer „lokalen Symmetrie“ meinen wir hierbei eine Symmetrie eines Subsystems, das heißt, eine Symmetrie, die üblicherweise nur in einem Teil des Systems gültig ist. Wir ver- wenden zwei verschiedene Methoden zur Behandlung solcher lokal symmetrischer Ketten: Erstens ein kürzlich eingeführtes Framework, welches die Auswirkungen lokaler Symmetrien durch bestimmte stromähnliche Korrelatoren, die sogenannten nichtlokalen Ströme, aufdeckt. Dieses Framework wird experimentell verifiziert, indem die nichtlokalen Ströme in einem System von sog. evaneszent gekoppelten optischen Wellenleitern gemessen werden. Unsere zweite Methode ist ein Framework von lokal symmetrischen Resonatoren, das wir im Zusammenhang mit binären tight-binding Ketten entwickeln. In diesen Ketten ist die Kopplung der nächsten Nachbarn konstant, während die on-site Potentiale zwei verschiedene Werte annehmen können. Insbesondere untersuchen wir die Fälle, in denen die binären Werte der on-site Potentiale gemäß der Fibonacci-, Thue-Morse- und Rudin-Shapiro-Sequenz angeordnet sind. Unser Framework erklärt unter anderem, dass die Eigenzustände dieser Ketten bei geringer Kopplungsstärke lokal symmetrische Lokalisierungsmuster aufweisen.

Das zweite Kapitel befasst sich mit dem Phänomen der kompakten lokalisierten Zustände (KLZ). Solche Zustände sind Eigenzustände eines diskreten Systems, z. B. eines tight-binding Modells, die einen kompakten Träger haben. Das heißt, sie sind nur in einem (üblicherweise kleinen) Teil des Systems nichtverschwindend. Diese extreme Art der Lokalisierung wird durch destruktive Interferenz verursacht, die wiederum durch ein geeignetes Zusammenspiel von Kopplungsstärken und der Geometrie des Systems ermöglicht wird. In vielen Fällen hat sich gezeigt, dass Systeme, die eine kompakte Lokalisierung unterstützen, lokale Symmetrien aufweisen, und wir untersuchen den Zusammenhang zwischen diesen beiden Phänomenen genauer. Durch die Anwendung von Erkenntnissen aus der Graphentheorie stellen wir fest, dass bestimmte Klassen lokaler Symmetrien tatsächlich systematisch mit kompakter Lokalisierung in Verbindung gebracht werden können. Aus diesen Erkenntnissen leiten wir ein mächtiges Konstruktionsprinzip ab, mit dem sich tight-binding Systeme mit KLZ ausstatten lassen. Dieses Prinzip ermöglicht es insbesondere, jede Einheitszelle eines Kristalls mit einem KLZ mit derselben Energie auszustatten. Dies führt zu makroskopischer Entartung und damit zu einem völlig flachen Band. Unser Prinzip erlaubt es, die Position dieses flachen Bandes zu tunen, ohne die übrigen Bänder des Kristalls zu verändern. Neben der Entwicklung dieses Konstruktionsprinzips und seiner Anwendung auf tight-binding Systeme zeigen wir außerdem, dass eine durch lokale Symmetrie induzierte kompakte Lokalisierung auch in langreichweitig wechselwirkenden Systemen mit gekoppelten Dipolstreuern möglich ist, welche wir mittels der sog. dyadischen Green-Matrix untersuchen.

Im dritten Kapitel untersuchen wir verschiedene Methoden, um einen KLZ in einem tight-binding System zu transferieren. Die erste dieser Methoden ist die optimale Steuerung, bei der der Hamiltonian in einer optimierten, zeitabhängigen Weise verändert wird, um den perfekten Transfer eines KLZ zu ermöglichen. Bei der zweiten Methode bauen wir auf zwei Techniken des Zustandstransfers auf, namentlich, auf dem perfekten Zustandstransfer (englisch: perfect state transfer) und dem ziemlich guten (englisch: pretty good state transfer) Zustandstransfer. Beide Techniken wurden ursprünglich für den (fast) perfekten Transfer von single-site Anregungen eines tight-binding Systems entwickelt. Durch Tuning des zugrundeliegenden zeitunabhängigen Hamiltonians erreichen diese beiden Techniken insbesondere die Übertragung des Zustands durch reine Zeitentwicklung. Leider ist eine direkte Anwendung dieser Techniken auf unser Ziel des Transfers von KLZs nicht möglich, da unsere KLZs keine single-site Anregungen sind, sondern antisymmetrische Anregungen eines Dimers, d. h. eine Anregung von zwei Sites. Wir zeigen jedoch, dass ein Hamiltonian, der den perfekten oder ziemlich guten Transfer von single-site Anregungen erlaubt, leicht so modifiziert werden kann, dass der Transfer von KLZ mit hoher Fidelität möglich ist.

Der Fokus des vierten Kapitels dieser Arbeit liegt auf sogenannten “latenten Symmetrien”. Ein Hamiltonian besitzt eine latente Symmetrie wenn eine bestimmte Art von Dimensionsreduktion, nämlich die sogenannte Isospektralreduktion, dieses Hamitonians eine Symmetrie besitzt. Wir entwickeln Methoden für die Konstruktion von latent symmetrischen Systemen. Außerdem stellen wir eine Verbindung zwischen nichtabelschen latenten Symmetrien und spektralen Entartungen des zugrundeliegenden Hamiltonians her. Zuletzt vereinigen wir die beiden Themen dieser Arbeit, indem wir zeigen, dass eine latente Symmetrie nichts anderes als eine lokale Symmetrie in jeder Matrix-Power des Hamiltonians ist.