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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:gbv:18-97158
URL: http://ediss.sub.uni-hamburg.de/volltexte/2019/9715/


Measuring Geometry and Topology of Floquet-Bloch States in and out of Equilibrium with Ultracold Fermions

Vermessung der Geometrie und Topologie von Floquet-Bloch Zuständen im Gleichgewicht und im Nichtgleichgewicht mit ultrakalten Fermionen

Vogel, Dominik

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SWD-Schlagwörter: Experimentalphysik , Fermion , Quantengas , Topologie , Geometrische Topologie , Laser , Tomografie , Wirbel <Physik> , Nichtgleichgewicht , Dynamik
Freie Schlagwörter (Englisch): Fiber lock , State Tomography , Nonequilibrium dynamics , dznamical vortices
Basisklassifikation: 33.23 , 33.18 , 33.30 , 33.60
Institut: Physik
DDC-Sachgruppe: Physik
Dokumentart: Dissertation
Hauptberichter: Sengstock, Klaus (Prof. Dr.)
Sprache: Englisch
Tag der mündlichen Prüfung: 07.06.2018
Erstellungsjahr: 2018
Publikationsdatum: 08.05.2019
Kurzfassung auf Englisch: The intriguing physics discovered with the famous quantum Hall effect was the first sign of what was later unraveled to be a whole, yet unknown class of phases of quantum matter. The study of these so-called topological quantum phases has become a deeply relevant topic for state of the art research bridging various disciplines of physics such as condensed matter physics, ultra cold atoms, trapped ions, and quantum computing.

As part of this work, two experiments on quantum many body systems in the vicinity of a topological phase transition were conducted. This thesis reports on their realization, results, and interpretation. In the first experiment the Berry curvature of a Floquet Bloch band is reconstructed with a high resolution in the Brillouin zone. The second experiment reports on the observation of dynamical vortices in nonequilibrium states after a quench into a topological system.


For both experiments ultracold atoms were employed as a platform to precisely engineer Hamiltonians with the desired geometrical and topological properties. For that we implemented a hexagonal optical lattice that provides a freely tunable offset between odd and even sites. Furthermore, the absolute lattice position can be dynamically controlled. This enables us to periodically drive the atomic ensemble and thereby create effective Floquet Hamiltonians, that have fundamentally different properties from the static system, including nontrivial topology, which requires the breaking of time reversal symmetry.
The lowest two bands in the band structure of the considered systems form a family of s-bands, that is well separated from the rest of the spectrum. We study the non-interacting states in these bands at a filled lower band, and explore the phase diagram spanned by the Floquet driving frequency and modulation depth, with focus on the regime of near resonant driving, where the system undergoes a transition to a topological insulator.

In the first experiment we reconstructed the Berry curvature distribution within the first Brillouin zone of the described system via a complete state tomography measurement.
The Berry curvature is a central geometric property of quantum systems subjected to adiabatic changes. The integral of the Berry curvature over the Brillouin zone yields the Chern index, which serves as a topological order parameter.
The measurement of the Berry curvature is highly relevant because it opens the path towards a deeper understanding of the underlying geometric properties that lead to topological effects. Prior to this experiment the Berry curvature has not been measured for lattice periodic systems.
The observables for the measurement are atomic density oscillations after time of flight expansion, caused by the dynamics following a quench into a system with flat bands. Similarly to a Rabi oscillation measurement, the observed oscillations fully characterize the respective quasimomentum eigenstate.
In this thesis the experimental techniques and the acquired data that shows a significant Berry curvature for a parameter regime close to the expected phase transition is presented.

The second part of this thesis reports on the observation of the creation, movement, and annihilation of dynamical vortex pairs in a highly excited state, during its evolution in a Floquet-Bloch system of the previously described type.
The dynamics of the vortices constitute a link between the characteristics of nonequlibrium dynamics and the topological phase of the underlying system. From the trace of the vortices in quasimomentum space it is possible to determine the Chern number and thereby the topological phase of the system. In our system the mere emergence of the vortices signals the proximity in system parameter space to the phase transition. We further identify the number of vortices as a topological order parameter for a dynamical phase transition. While ordinary quantum phase transitions are defined for equilibrium systems and occur at a critical value of a adiabatic control parameter, like e.g. the magnitude of the applied magnetic field, a dynamical phase transition is defined for nonequilibrium states and appears under the evolution of the state at critical times.
The measurements presented here extend the ones in the first part of the thesis. Here, instead of preparing an eigenstate of the system, a highly excited state is prepared by an initial quench from a topological trivial system into a nontrivial system. We reconstruct the state for a series of evolution times via a complete state tomography. In the acquired phase data the dynamics of the vortices can clearly be seen, and the parameter regime for their emergence coincides with our numerical simulation of the system.

In addition to these experiments, this thesis reports on a fiber phase lock, that has been developed as part of this work. The fiber phase lock is an optical and electronic setup that allows suppressing the phase noise, which a laser beam picks up upon passage through an optical fiber. For optical lattices this noise is transduced into the domain of the lattice position or the lattice structure.
The presented solution employs a local end, heterodyne measurement of the picked up phase as an error signal for a digital feedback loop, that actuates on the phase via an acousto-optic modulator that is driven by a direct digital synthesis signal. The digital controller has been implemented on the platform of an embedded system with real time capabilities.
Kurzfassung auf Deutsch: Die faszinierende Physik die im Zusammenhang mit dem Quanten-Hall-Effekt entdeckt wurde, war ein erstes Zeichen für das was sich später als eine vollständige neue Kategorie von Quanten-Materie-Phasen herausstellte. Die Erforschung dieser sogenannten topologischen Quantenphasen hat sich zu einem höchst relevanten Themengebiet der aktuellen Forschung in verschiedenen Bereichen der Physik entwickelt, von Festkörperphysik über ultrakalte Atome, gefangene Ionen hin zu Quantencomputern.

Im Rahmen dieser Arbeit wurden zwei Experimente an Quanten-Vielteilchen-Systemen nahe topologischer Phasenübergänge durchgeführt. Diese Dissertation berichtet von der Umsetzung dieser Experimente, deren Ergbnissen und Interpretation. In dem ersten Experiment wird die Berry-Krümmung eines Floquet-Bloch-Bandes mit hoher Auflösung in der Brillouin-Zone rekonstruiert. Das zweite Experiment zeigt die Beobachtung dynamischer Vortices in Nichtgleichgewichtszuständen nach der Projektion in ein topologisches System.


Für beide Experimente dienten ultrakalte Atome als Plattform um kontrolliert Hamilton-Operatoren mit den gewünschten geometrischen und topologischen Eigenschaften zu konstruieren. Um dies zu erreichen errichteten wir ein hexagonales optisches Gitter mit einer frei einstellbaren Gittertiefendifferenz zwischen geraden und ungeraden Minima. Zusätzlich kann die absolute Gitterposition dynamisch kontrolliert werden. Damit ist es uns möglich das Atom-Ensemble periodisch zu treiben und so effektive Floquet-Hamilton-Operatoren zu schaffen, welche sich in ihren Eigenschaften fundamental von dem statischen System unterscheiden, u. a. durch ihre nicht-triviale Topologie, welche das Brechen der Zeitumkehrinvarianz erfordert.
Die untersten zwei Bänder in der Bandstruktur des betrachteten Systems bilden eine Familie von s-Bändern die von dem Rest des Spektrums separiert ist. Wir untersuchen nichtwechselwirkende fermionische Zustände in diesen Bändern bei einem gefüllten unteren Band und erkunden das Phasendiagramm das durch die Floquet-Antriebsfrequenz und Modulationstiefe aufgespannt wird. Dabei liegt der Fokus im Bereich des nahresonanten getriebenen Systems in dem der Phasenübergang zur topologischen Isolatorphase stattfindet.


Im ersten Experiment rekonstruierten wir die Berry-Krümmungs-Verteilung innerhalb der ersten Brillouin-Zone des beschriebenen Systems mittels einer vollständigen Zustands-Tomographie-Messung.
Die Berry-Krümmung is eine zentrale geometrische Eigenschaft von Quantensystemen mit adiabatisch variierenden Parametern. Das Integral der Berry-Krümmung über die Brillouin Zone ist der Chern Index, welcher als topologischer Ordnungsparameter dient.
Die Messung der Berry Krümmungs ist höchst relevant, weil sie den Weg zu einem tiefereren Verständnis der den topologischen Effekte zugrundeliegenden geometrischen Eigenschaften ebnet. Vor den hier vorgestellten Messungen wurde die Berry-Krümmung noch nicht für gitterperiodische Systeme gemessen.
Die Observablen der Messung sind die Oszillationen der atomaren Dichte nach time-of-flight Expansion, die durch die Projektion in flache Bänder hervorgerufen werden. Ähnlich zu einer Rabi-Oszillations-Messung, charakterisieren die beobachteten Oszillationen den zugehörigen Gitterimpuls-Eigenzustand vollständig.
In dieser Arbeit werden die experimentelle Vorgehensweise und die erlangten Daten präsentiert, welche eine signifikante Berry-Krümmung in dem erwarteten Parameterregime nahe des Phasenübergangs zeigen.


Der zweite Teil dieser Arbeit berichtet von der Beobachtung der Erzeugung, Bewegung und Vernichtung von dynamischen Vortex-Paaren in einem hochangeregten Zustand während seiner Entwicklung in einem Floquet-Bloch-Systems des zuvor beschriebenen Typs.
Die Dynamik der Vortices stellt eine Verbindung zwischen dem Feld der Nichtgleichgewichtsdynamik und der topologischen Phase des zugrundeliegenden Systems her. Von der Trajektorie der Vortices im Quasiimpulsraum ist es möglich die Chern-Zahl und damit die topoplogische Phase des Systems zu bestimmen. In dem von uns untersuchten System signalisiert das bloße Erscheinen der Vortices die Nähe im Systemparameterraum zu einem Phasenübergang. Desweiteren identifizieren wir die Anzahl der Vortices als einen topologischen Ordnungsparameter für einen dynamischen Phasenübergang. Während gewöhnliche Quantenphasenübergänge für Gleichgewichtssysteme definiert sind und beim adiabatischen Erreichen eines kritischen Wertes eines Kontrolparameters auftreten, wie zum Beispiel der Stärke des angelegten Magnetfeldes, ist der dynamische Phasenübergang für Nichtgleichgewichtszustände definiert und tritt bei der Entwicklung des Zustandes zu kritischen Zeiten auf.
Die hier vorgestellen Messungen ähneln denen des erstens Teils dieser Arbeit, mit dem Unterschied, dass nicht Eigenzustände des zu untersuchenden Systems präpariert werden, sondern hoch angeregte Zustände, welche durch die Projektion von einem topologisch trivialen Systems in ein nicht triviales präpariert werden. Wir rekonstruieren den gesamten Zustand für eine Serie von Entwicklungszeiten mithilfe der vorgestellten vollständigen Zustandstomographie. In den aufgezeichneten Phasenprofilen ist die Dynamik der Vortices deutlich erkennbar, und das Parameterregime ihres Auftretens stimmt mit unseren numerischen Simulationen überein.


Zusätzlich zu diesen Experimenten berichtet diese Dissertationsschrift von einer sog. Faser-Phasen-Regelung, die im Rahmen dieser Arbeit entwickelt wurde. Die Faser-Phasen-Regelung ist ein optischer und elektronischer Aufbau, der es erlaubt das Phasenrauschen, das ein Laserstrahl bei dem Durchlaufen einer optischen Faser erleidet, zu unterdrücken.
Die vorgestellte Lösung verwendet eine Laser-seitige AC-Messung der aufgesammelten Phase als ein Fehlersignal für eine digitale Feedback-Regelung, die per direkter digitaler Signalsynthese (DDS) einen akusto-optischen Modulator treibt. Der digitale Kontroller wurde auf der Basis eines embedded systems mit Echtzeitfähigkeit umgesetzt.

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