Towards Turaev-Viro topological field theories on stratified manifolds. Evaluation at vertices and local moves

Abstract

In the definition of 3-dimensional topological field theories of state-sum type, the evaluation of certain graphs on spheres that surround vertices of a triangulation is a crucial ingredient. For the definition of a topological field theory on manifolds with stratifications, such an evaluation has been known only for specific geometric configurations. For general configurations, an extruded graph on a sphere has to be evaluated to a scalar. In this thesis, we define such an evaluation for extruded graphs labeled by spherical fusion categories and traced bimodule categories over them. We prove that this evaluation is invariant under a set of local moves, which makes the evaluation explicitly computable. We show that the definition specializes to known evaluation procedures in specific situations. The results pave the way towards a construction of topological field theories on stratified manifolds.

Die Evaluation bestimmter Graphen auf Sphären, die die Vertizes einer Triangulierung umschließen, ist ein wesentlicher Bestandteil der Definition von dreidimensionalen topologischen Feldtheorien, die auf Zustandssummen basieren. Eine solche Evaluation, die für die Definition einer topologischen Feldtheorie auf stratifizierten Mannigfaltigkeiten geeignet ist, ist bislang nur für spezielle geometrische Konfigurationen bekannt. Um allgemeinere Konfigurationen einzuschließen, muss ein extrudierter Graph auf der Sphäre evaluiert werden können. In dieser Dissertation definieren wir eine solche Evaluation für extrudierte Graphen, die mit sphärischen Fusionskategorien und Bimodulkategorien mit Spur beschriftet sind. Wir beweisen, dass die Evaluation unter einem Satz lokaler transformationen invariant bleibt, was die Evaluation explizit berechenbar macht. Wir zeigen außerdem, dass sich die Definition in Spezialfällen auf bekannte Evaluationsvorschriften spezialisiert. Diese Ergebnisse ebnen den Weg für die Konstruktion einer topologischen Feldtheorie auf stratifizierten Mannigfaltigkeiten.