Theoretical and Numerical Insights into Simultaneous Motion and Image Reconstruction for Dynamic Magnetic Particle Imaging

Abstract

This thesis focuses on reconstruction of dynamic magnetic particle images. Magnetic particle imaging (MPI) is a tracer based imaging method with applications, e.g., in cardiovascular imaging, stroke detection and instrument tracking during interventions. It is characterized by a high spatial and temporal resolution, more particularly 3D measurements with a spatial resolution of 1mm or less can be acquired with a temporal resolution of 46 frames per second. Thus, image reconstruction poses a highly dynamic problem. Mathematically, the MPI reconstruction problem is severely ill-posed already in a static setting and yields even more challenges for dynamic problems. In this work, we propose the usage of a joint image reconstruction and motion estimation approach in order to improve reconstructed images by the additional motion information and improve computed displacement fields by enhanced image sequences. We use a variational problem formulation integrating a motion model that links image sequences and motion estimates. The problem is solved via an alternating minimization scheme, i.e., an image reconstruction subproblem and a motion estimation subproblem are solved alternately. This thesis comprises a theoretical and a numerical part. From the theoretical perspective, we consider the forward operator of MPI and show a regularity property. Moreover, we show existence of a solution to the joint problem given this regularity assumption. Our theoretical results hold for a model incorporating the PDE describing the motion model as a hard constraint. However, numerically we consider a model incorporating the motion model as an additional penalty term. We observe that solutions of the unconstrained problems converge to a solution of the constrained problem. From the numerical perspective, we derive and implement primal-dual algorithms to solve both the image reconstruction and the motion estimation subproblem. We perform extensive tests on simulated as well as measured data showing the applicability of the proposed approach. We observe superior performance compared to standard static methods that are not tailored to the dynamic reconstruction problem. Furthermore, the joint approach allows for subframe reconstruction, i.e., reconstruction of image sequences with a higher temporal resolution than the repetition time of the MPI scanner.

Diese Arbeit befasst sich mit der Rekonstruktion dynamischer Bildsequenzen aus der Magnetpartikelbildgebung. Die Magnetpartikelbildgebung (engl. magnetic particle imaging, MPI) ist ein tracer-basiertes Verfahren und wird zum Beispiel für kardiovaskuläre Bildgebung, das Aufspüren eines Schlaganfalls und Instrumententracking während Interventionen benutzt. MPI zeichnet sich durch eine hohe räumliche und zeitliche Auflösung aus. Insbesondere können 3D Messungen mit einer räumlichen Auflösung von weniger als 1mm mit einer zeitlichen Auflösung von 46 Bildern pro Sekunde aufgenommen werden. Damit beschreibt die Bildrekonstruktion ein stark dynamisches Problem. Aus mathematischer Sicht ist bereits die Rekonstruktion statischer MPI Bilder ein stark schlecht gestelltes Problem, das durch die zusätzliche Zeitabhängigkeit im dynamischen Fall eine noch größere Herausforderung darstellt. Hier wird ein gemeinsamer Bildrekonstruktions- und Bewegungsschätzungsansatz (engl. joint approach) betrachtet, um so die Bildrekonstruktion mithilfe zusätzlicher Bewegungsinformationen zu verbessern und die Qualität der berechneten Bewegungsfelder mittels verbesserter Bildsequenzen zu erhöhen. Dazu wird eine variationelle Problemformulierung genutzt, die ein Bewegungsmodell beinhaltet, um die Bildsequenzen und Bewegungsfelder zu verbinden. Das Problem wird mithilfe eines alternierenden Minimierungsalgorithmus gelöst, wobei abwechselnd das Bildrekonstruktionsproblem und das Bewegungsschätzungsproblem gelöst werden. Diese Arbeit besteht aus einem theoretischen und einem numerischen Anteil. Auf der theoretischen Seite wird der MPI Vorwärtsoperator betrachtet und eine Regularitätsbedingung gezeigt. Damit ist es im Folgenden möglich, die Existenz einer Lösung des gemeinsamen Bildrekonstruktions- und Bewegungsproblems unter Annahme dieser Regularitätsbedingung zu zeigen. Außerdem wird bewiesen, dass Lösungen der unrestringierten Probleme, bei denen das Bewegungsmodell als zusätzlicher Strafterm eingefügt wird gegen eine Lösung des restringierten Problems konvergieren. Bei diesem ist das Bewegungsmodell als Nebenbedingung fast überall gefordert. Im numerischen Teil der Arbeit werden primal-duale Algorithmen entwickelt und implementiert, um beide Teilprobleme zu lösen. Es folgen ausgiebige Tests sowohl auf simulierten Daten als auch auf Messdaten, um die Anwendbarkeit des betrachteten Ansatzes zu validieren. Im Vergleich zu statischen Algorithmen bringt der vorgeschlagene Ansatz bessere Ergebnisse hervor und erhöht sowohl die Qualität der rekonstruierten Bilder als auch die Genauigkeit der Bewegungsfelder. Mit dem betrachteten Ansatz ist es außerdem möglich, Subframe Rekonstruktionen zu berechnen, die sich durch eine höhere zeitliche Auflösung als die eigentlichen MPI Messungen auszeichnen.