Defects in non-semisimple 3d topological field theory and 2d logarithmic conformal field theory

Abstract

In this thesis, we study the connection between three-dimensional topological field theories (TFTs) and two-dimensional conformal field theories (CFTs). More specifically, we extend the "TFT construction of RCFT correlators'' of Fuchs, Runkel, Schweigert and others from rational to so-called finite logarithmic CFTs. For these, the chiral data is encoded in a modular tensor category C, which is not necessarily semisimple, but still finite.

Our first main result is the explicit construction of a 2-categorical version of Lyubashenko's modular functor in terms of the non-semisimple 3d TFT of De Renzi et al constructed from C. We also extend this modular functor to a 2-category of "topological world sheets'' in order to account for boundary conditions and topological defects. Based on this, our second main result consists of an explicit construction of a full CFT, in the form of a braided monoidal oplax natural transformation, using surface defects in the non-semisimple 3d TFT. As an example, we consider the case of the simplest surface defect, the transparent one, and show that our results match the expectations from the literature for the so-called diagonal or charge-conjugate CFT.

In dieser Doktorarbeit wird der Zusammenhang zwischen drei dimensionalen topologischen Feldtheorien (TFTs) und zwei dimensionalen konformen Feldtheorien untersucht. Genauer gesagt erweitern wir die "TFT construction of RCFT correlators'' von Fuchs, Runkel, Schweigert und weiteren Koautoren vom Fall rationaler zu so genannten endlichen logarithmischen konformen Feldtheorien. Für diese Theorien sind die chiralen Daten in einer modularen Tensorkategorie C, welche endlich aber nicht unbedingt halbeinfach ist, verpackt.

Unser erstes Hauptresultat ist die explizite Konstruktion einer 2-kategorischen Version von Lyubashenko's modularen Funktor mittels der aus C konstruierten, nicht-halbeinfachen 3d TFT von De Renzi und Koautoren. Zudem erweitern wir diesen modularen Funktor auf eine 2-Kategorie von "topologischen Weltflächen'' um sowohl Randbedingungen als auch topologische Defekte beschreiben zu können. Darauf aufbauend ist unser zweites Haupresultat die explizite Konstruktion einer vollen konformen Feldtheorie, axiomatisiert als eine oplax-natürliche Transformation, mittels Flächendefekten in der nicht halbeinfachen 3d TFT. Als Beispiel betrachten wir unsere Konstruktion im Fall für den einfachsten Flächendefekt, den transparenten, und zeigen, dass unsere Resultate die Erwartungen für die so genannte diagonale bzw. "charge-conjugate'' Theorie reproduzieren.