Coexisting Invariants, Dynamical Spin Control, and Exchangeless Braiding A Hitchhiker’s Guide to Topology

Abstract

Die moderne Theorie der kondensierten Materie greift zunehmend auf topologische Ideen zurück, um Phänomene zu erklären, die sich rein lokalen Beschreibungen entziehen. Während die theoretischen Grundlagen der topologischen Quantenmaterie gut etabliert sind, kann noch viel darüber gelernt werden, wie topologische Eigenschaften mit anderen Aspekten physikalischer Systeme interagieren. In dieser Dissertation wird das Zusammenspiel zwischen Topologie und konkurrierenden physikalischen Effekten anhand einer Reihe von quantenmechanischen und quantenklassischen Fallstudien untersucht. Diese umfassen Systeme mit koexistierenden topologischen Ordnungen, quantenklassische Dynamik und kleine Quanteninformationsplattformen.

Die erste Studie befasst sich mit den Auswirkungen koexistierender topologischer Ordnungen in einem quantenklassischen Hybridsystem, in dem klassische Störstellenspins an ein Haldane-Modell von Elektronen mit Spin-1/2 auf einem periodischen Honigwabengitter gekoppelt sind. In diesem Rahmen stellt der Konfigurationsraum der klassischen Störstellenspins eine Parametermannigfaltigkeit dar, die eine extrinsische monopolartige Klassifizierung ermöglicht, welche die intrinsische Chern-Klassifizierung des Haldane Trägersystems ergänzt. Die zusätzliche monopolartige topologische Ordnung erklärt das Auftreten eines spektralen Flusses von Energien gebundener Zustände, welcher die Energielücke des Haldane-Modells als Funktion der Austauschkopplungsstärke überbrücken. Die Form dieses spektralen Flusses wird derweil durch die Chern-Topologie des Trägersystems bestimmt, die festlegt, ob im Grenzfall unendlich großer Austauschkopplungsstärken zwischen den Störstellenspins und dem Trägersystem gebundene In-Gap-Zustände auftreten oder nicht. Die Koexistenz der konventionellen Chern Impulsraumtopologie und der monopolartigen Konfigurationsraumtopologie ermöglicht die numerische Konstruktion topologischer Phasendiagramme, die wertvolle Einblicke in die wechselseitigen Beziehungen zwischen den beiden topologischen Strukturen liefern.

Die zweite Studie zeigt, wie die topologischen Randzustände eines Quanten-Spin-Hall-Systems zur Steuerung der Echtzeitdynamik einer magnetischen Störstelle genutzt werden können. Zu diesem Zweck wird ein klassischer Störstellenspin an eine Kante eines Kane-Mele-Modells auf einem endlichen Streifensegment gekoppelt. Die Echtzeitentwicklung des resultierenden quantenklassischen Hybridsystems wird ermittelt, indem der vollständige Satz gekoppelter Bewegungsgleichungen des klassischen Spins und des elektronischen Systems numerisch gelöst wird. Um eine Simulation der Langzeitdynamik zu ermöglichen, werden dissipative Randbedingungen für alle Ränder mit Ausnahme des Randes, der den Störstellenspin trägt, eingeführt. Die feste Kopplung zwischen Spin- und Impulsrichtung in den Kane-Mele-Randmoden führt dazu, dass sich Spindichte-Injektionen unidirektional und nahezu verlustfrei ausbreiten, was eine gezielte Manipulation der Störstellenspindynamik aus der Ferne ermöglicht. Iterierte Protokolle aus Spininjektion, unidirektionaler Ausbreitung und Streuung am Störstellenspin ermöglichen die Implementierung eines vollständigen und reversiblen Spinschaltprozesses.

Die dritte Studie nutzt Rotationen der supraleitenden Phase in kleinen Netzwerken aus schwach verknüpften Kitaev-Ketten, um logische Braidingoperationen für topologisches Quantencomputing zu realisieren, ohne die anyonischen Majorana-Quasiteilchen auszutauschen. Die Braidingprotokolle werden numerisch verifiziert, indem die nicht-abelsche Wilczek-Zee-Phase des niederenergetischen Vielteilchen-Unterraums unter Verwendung der Bertsch-Robledo-Überlappformel ausgewertet wird. Der Parameterraum von zwei schwach verknüpften Kitaev-Ketten teilt sich in zwei Regionen, die durch unterschiedliche Braidingresultate gekennzeichnet sind, nämlich projektive X- oder Z-artige Braidingoperationen. Eine Auswahl repräsentativer Phasendiagramme zeigt, dass die X- und Z-Phasen durch einen kontinuierlichen Übergang voneinander getrennt sind. Dieser kontinuierliche Übergang ist darüber hinaus auf einer scharfen Übergangs-Hyperfläche zentriert, welche aus einem Minimalmodell der vier beteiligten Majorana-Moden abgeleitet wird. Die Studie zeigt, dass die anyonischen Eigenschaften selbst bei endlichen Systemgrößen und schwacher Kopplung zwischen den Kitaev-Ketten erhalten bleiben.

Modern condensed matter theory increasingly draws on topological ideas to explain phenomena that defy purely local descriptions. While the theoretical foundations of topology in quantum matter are well established, much can still be learnt about how topological properties interact with other aspects of physical systems. This thesis explores the interplay between topology and competing physical effects through a series of quantum and quantum-classical case studies. We cover systems with coexisting topological orders, quantum-classical dynamics, and small-scale quantum information platforms.

The first study addresses the implications of coexisting topological orders in a quantum-classical hybrid system formed by classical impurity spins coupled to a spinful Haldane model on a periodic honeycomb lattice. In this setting, the configuration space of the classical impurity spins constitutes a parameter manifold that enables an extrinsic monopole-like classification complementing the intrinsic Chern classification of the Haldane host. The additional monopole-like topological order explains the emergence of a spectral flow of bound-state energies bridging the host's energy gap as a function of the exchange-coupling strength. The form of this spectral flow, however, is determined by the Chern topology of the host system, which dictates whether or not impurity-bound in-gap states appear in the limit of infinitely large exchange coupling strengths between impurity spins and host. The coexistence of the conventional Chern momentum-space topology and the monopole-like configuration-space topology enables the numerical construction of topological phase diagrams that provide valuable insights into the interrelations between the two topological structures.

The second study demonstrates how the topological edge states of a quantum spin Hall system can be harnessed to control the real-time dynamics of a magnetic impurity. To this end, a classical impurity spin is coupled to one edge of a Kane-Mele model on a finite ribbon segment. The real-time evolution of the resulting quantum-classical hybrid system is obtained by numerically solving the full set of coupled equations of motion for the classical spin and the electronic system. In order to enable the simulation of long-time dynamics, dissipative boundary conditions are imposed on all but the impurity-hosting edge. Spin density injections into the spin-momentum locked Kane-Mele edge modes propagate unidirectionally and with minimal loss, enabling remote manipulations of the impurity spin dynamics. Iterated protocols of spin injection, unidirectional propagation, and scattering off the impurity spin allow the implementation of a complete and reversible spin switching process.

The third study employs superconducting phase rotations in small networks of weakly-linked Kitaev chains to realise logical braiding operations for topological quantum computation without exchanging anyonic Majorana quasiparticles. Braiding protocols are verified by numerically evaluating the non-Abelian Wilczek--Zee phase of the low-energy many-body subspace using the Bertsch-Robledo overlap formula. The parameter space of two weakly linked Kitaev chains divides into two regions characterised by distinct braiding outcomes, i.e. projective X- or Z-type braiding operations. A selection of representative phase diagrams reveal that the X and Z phases are separated by a continuous crossover. Moreover, this crossover regime is centred on a sharp transition hypersurface derived from a minimal model of the four involved Majorana modes. The study demonstrates the robustness of anyonic properties against finite-size effects and weak couplings between Kitaev chains.