Existence and duality results for BV solutions to linear-growth variational problems with measure data

Abstract

Object of this thesis is the study of convex first–order variational functionals F with linear growth in the gradient variable, coupled with a non–linear integral term with respect to a (possibly signed) Radon measure on given bounded domains of R^n. After achieving a generalized parametric lower semicontinuity result, we provide necessary and sufficient conditions for the existence of minimizers of F in the space of functions of bounded variation (BV), discussing (counter)examples and borderline cases for the assumptions. A first step in the existence theory consists of approaching semicontinuity of the (anisotropic) total variation problem with measures in continuation to the parametric outcome of [92], further exploiting lifting of functions to extend the result to a broader class of integrals. The transition from the standard total variation integral to possibly non–even anisotropies with measures is addressed by the choice of a suitable signed isoperimetric condition defined on sets of finite perimeter – also equivalently reformulated on multiple subclasses of BV functions. More importantly, we make use of coarea and layer-cake arguments to move from the parametric formulation with (anisotropic) perimeter to (anisotropic) variations with measures. This method represents the foundation of our global existence theory, and it is subsequently employed to achieve a more general existence result. In parallel, we determine the dual maximization problem corresponding to F set in the class of divergence–measure vector fields. The outcome of duality enables us to reformulate optimality relations for solutions of the two problems in terms of a refined version of Anzellotti’s pairing [7] between maximizing fields of assigned divergence measure and distributional derivatives of minimizers of F. By introducing a suitable notion of solution to the Euler-Lagrange equation associated to F, we then recover the usual meaning of necessary – and, under convexity, also sufficient – condition for minimizers of F, demonstrating that our BV formulation provides a natural extension of the Sobolev model in the sense of L1-relaxation.

Thema dieser Dissertation ist die Untersuchung konvexer Variationsfunktionale erster Ordnung F mit linearem Wachstum in der Gradientenvariable, gekoppelt mit einem nichtlinearen Integralterm bezüglich eines (möglicherweise signierten) Radon-Maßes auf einem gegebenen beschränkten Gebiet in R^n. Nach dem Erreichen eines verallgemeinerten parametrischen Resultats zur Unterhalbstetigkeit geben wir notwendige und hinreichende Bedingungen für die Existenz von Minimierern von F im Raum der Funktionen von beschränkter Variation (BV) an und diskutieren (Gegen-)Beispiele und Grenzfälle für die Annahmen. Ein erster Schritt in der Existenztheorie besteht darin, sich der Unterhalbstetigkeit des (anisotropen) Variationsproblems mit Maßen anzunähern, in Anlehnung an das parametrische Resultat von [92], und dann ein "Lifting" von Funktionen zu nutzen, um das Ergebnis auf eine weitere Klasse von Integralen auszuweiten. Der Übergang vom Variationsintegral zu möglicherweise nicht-geraden Anisotropien mit Maßen wird durch die Wahl einer geeigneten signierten isoperimetrischen Bedingung behandelt, die auf Mengen von endlichem Perimeter definiert ist und äquivalent für mehrere Klassen von BV-Funktionen umformuliert wird. Wir verwenden die Koflächen- und die Layer-Cake-Formel, um von der parametrischen Formulierung mit (anisotropem) Perimeter zu (anisotropen) Variationen mit Maßen überzugehen. Diese Methode bildet die Grundlage unserer globalen Existenztheorie und wird anschließend verwendet, um ein allgemeineres Existenzresultat zu erzielen. Parallel dazu bestimmen wir das duale Maximierungsproblem, das F in der Klasse der Divergenz-Maß-Vektorfelder entspricht. Das Dualitätsresultat ermöglicht es uns, die Optimalitätsbeziehungen für Lösungen der beiden Probleme mit Hilfe einer verfeinerten Version von Anzellottis Paarung [7] zwischen maximierenden Feldern mit gegebenem Maß als Divergenz und Maßableitungen von Minimierern von F neu zu formulieren. Durch die Einführung eines geeigneten Lösungsbegriffs für die mit F verbundene Euler-Lagrange-Gleichung gewinnen wir dann die übliche Form der notwendigen – und unter Konvexität auch hinreichenden – Bedingung für Minimierer von F zurück und zeigen, dass unsere BV-Formulierung eine sinnvolle Erweiterung des Sobolev-Modells im Sinn einer L1-Relaxierung darstellt.