Extensions of Fusion Categories via Fixed-Point-Free Automorphisms

Abstract

In this thesis, we will use the structure of quadratic forms and results from group theory to build modular fusion categories. For this, we are using discriminant forms with isometries that have the property of being fixed-point-free.

We first determine conjugacy classes of isometries in the orthogonal group of a regular quadratic module over an Artinian local ring. We describe the conjugacy classes whose isometries are fixed-point-free.

In particular, our classification includes orthogonal groups over the finite ring Z/p^l, where p is a prime and l a positive integer. We show how to apply our results to discriminant forms. We utilise our result to construct braided Z/N-crossed extensions of hyperbolic pointed modular fusion categories whose Z/N-equivariantisations are Drinfeld centres of pointed fusion categories. We calculate the modular data and fusion rules of these Z/N-equivariantisations.

Furthermore, we define coherent Gr-bicategories, which are bicategories that resemble groups. We show that any coherent Gr-bicategory is equivalent to a special skeletal coherent Gr-bicategory. This should be seen as a setup for future work on extensions of fusion categories.

In dieser Arbeit benutzen wir die Struktur von quadratischen Formen und Resultate der Gruppentheorie, um modulare Fusionskategorien zu konstruieren. Dafür benutzen wir Diskriminantenformen mit Isometrien, welche fixpunktfrei sind.

Zunächst bestimmen wir Konjugationsklassen von Isometrien in orthogonalen Gruppen von regulären quadratischen Räumen über einem artinschen lokalen Ring. Wir beschreiben diejenigen Konjugationsklassen, deren Isometrien fixpunktfrei sind. Insbesondere schließt unsere Klassifikation orthogonale Gruppen über dem endlichen Ring Z/p^l ein, wobei p eine Primzahl und l eine positive ganze Zahl sind. Wir zeigen, wie sich diese Ergebnisse auf Diskriminantenformen anwenden lassen. Wir benutzen unsere Resultate, um verzopfte Z/N-gekreuzte Erweiterungen von hyperbolischen punktierten modularen Fusionskategorien zu konstruieren, deren Z/N-Equivariantisierungen Drinfeld-Zentren von punktierten Fusionskategorien sind. Wir berechnen die modularen Daten und Fusionsregeln dieser Z/N-Equivariantisierungen.

Weiterhin definieren wir kohärente Gr-Bikategorien, welche Gruppen für monoidale Bikategorien ähneln. Wir zeigen, dass jede kohärente Gr-Bikategorie äquivalent zu besonderen skeletalen kohärenten Gr-Bikategorien ist. Dies sollte als Vorbereitung der weiteren Untersuchung von Erweiterungen von Fusionskategorien gesehen werden.