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Titel: Permutation equivariant ribbon categories from modular functors
Sonstige Titel: Permutations-äquivariante Ribbon-Kategorien durch modulare Funktoren
Sprache: Englisch
Autor*in: Barmeier, Till
Schlagwörter: modulare Funktoren; modular functors
GND-Schlagwörter: Monoidale Kategorie; Konforme Feldtheorie
Erscheinungsdatum: 2010
Tag der mündlichen Prüfung: 2010-09-10
Zusammenfassung: 
In this thesis we investigate a certain class of G-equivariant monoidal categories, where G is a finite group. As a special case for the symmetric group G=S_N we obtain the so-called permutation equivariant monoidal categories. Our construction is geometric, i.e. we give a G-equivariant modular functor that induces the structure of a G-equivariant monoidal category. As input we use a finite group G, a finite G-set X and a modular tensor category C.

The main idea of our construction is the definition of the so-called cover functor. This is the monoidal functor from the category Gcob(d) of G-bundles over d-dimensional cobordisms to the category cob(d) of d-dimensional cobordisms that maps a G-bundle to the total space of the bundle associated by the G-action on X.

As a first step we conduct our construction in a decategorified setting to get an ansatz for the abelian category in dependence of C and X. To this end we consider a commutative Frobenius-algebra R and pull back the induced topological field theory along the cover functor to obtain a G-equivariant topological field theory. Then we compute the G-Frobenius-algebra that is equivalent to this field theory.

By categorifying the structure of this G-Frobenius-algebra, we obtain a G-equivariant monoidal category C^X. Then we define a C^X-extended G-equivariant modular functor by applying the modular functor t that corresponds to the category C to total spaces of associated bundles.

The following computation of the G-equivariant ribbon structure on C^X turns out to be very involved. In the case of G=Z/2 we are able to fully conduct this computation, however for arbitrary groups we can only compute the structure of module categories on the twisted components over the neutral component. By a result of Etingof, Nikshych and Ostrik this already determines a large part of the monoidal structure on the G-equivariant category.

Finally we apply these results and compute the modular invariants of the mentioned module categories. We show that all modular invariants of permutation-type are physical.

In dieser Arbeit untersuchen wir eine bestimmte Klasse G-äquivarianter Tensorkategorien, wobei G eine endliche Gruppe ist. Als Spezialfall erhalten wir für die symmetrischen Gruppen G=S_N die sogenannten Permutations-äquivarianten Tensorkategorien. Die Konstruktion ist geometrisch, d.h. wir geben einen G-äquivarianten modularen Funktor an, welcher dann die Struktur einer G-äquivarianten monoidalen Kategorie induziert. Als Eingangsdaten verwenden wir eine endliche Gruppe G, eine endliche G-Menge X und eine modulare Tensorkategorie C.

Die wesentliche Idee unserer Konstruktion ist die Definition des sogenannten Cover-Funktors. Dies ist der Tensorfunktor von der Kategorie Gcob(d) der G-Prinzipalbündel d-dimensionaler Kobordismen in die Kategorie cob(d) der d-dimensionalen Kobordismen, welcher einem G-Bündel den Totalraum des durch die G-Wirkung auf X assoziierten Bündels zuordnet.

Zunächst führen wir unsere Konstruktion dekategorifiziert durch, um einen Ansatz für die abelsche Kategorie in Abhängigkeit von C und X zu bekommen. Dazu betrachten wir eine kommutative Frobenius-Algebra R und ziehen die von R induzierte topologische Feldtheorie entlang des Cover-Funktors zu einer G-äquivarianten topologischen Feldtheorie zurück. Anschließend berechnen wir die G-Frobenius-Algebra, welche zu dieser Feldtheorie äquivalent ist.

Durch Kategorifizieren der Struktur dieser G-Frobenius-Algebra erhalten wir eine G-äquivariante abelsche Kategorie C^X. Dann definieren wir einen C^X-erweiterten G-äquivarianten modularen Funktor durch Anwenden des zu C gehörenden modularen Funktors t auf Totalräume von assoziierten Bündeln.

Die anschließende Berechnung der G-äquivarianten Ribbon-Struktur auf C^X erweist sich als sehr anspruchsvoll. Im Fall G=Z/2 können wir diese Berechnung noch vollständig durchführen, für beliebige Gruppen jedoch können wir nur noch die Modulkategorie-Strukturen auf den getwisteten Komponenten über der neutralen Komponente bestimmen. Nach einem Resultat von Etingof, Nikshych und Ostrik ist dadurch aber schon ein großer Teil der monoidalen Struktur auf der G-äquivarianten Kategorie bestimmt.

Abschließend wenden wir diese Resultate an und berechnen die modularen Invarianten der genannten Modulkategorien und zeigen so, dass alle modularen Invarianten vom Permutationstyp physikalisch sind.
URL: https://ediss.sub.uni-hamburg.de/handle/ediss/3755
URN: urn:nbn:de:gbv:18-47728
Dokumenttyp: Dissertation
Betreuer*in: Schweigert, Christoph (Prof. Dr.)
Enthalten in den Sammlungen:Elektronische Dissertationen und Habilitationen

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