Genericity in Network Dynamics

Abstract

This thesis deals with the investigation of dynamical properties – in particular generic synchrony breaking bifurcations – that are inherent to the structure of a semigroup network as well the numerous algebraic structures that are related to these types of networks. Most notably we investigate the interplay between network dynamics and monoid representation theory as induced by the fundamental network construction in terms of hidden symmetry as introduced by RINK and SANDERS.

After providing a brief survey of the field of network dynamics in Part I, we thoroughly introduce the formalism of semigroup networks, the customized dynamical systems theory, and the necessary background from monoid representation theory in Chapters 3 and 4. The remainder of Part II investigates generic synchrony breaking bifurcations and contains three major results. The first is Theorem 5.11, which shows that generic symmetry breaking steady state bifurcations in monoid equivariant dynamics occur along absolutely indecomposable subrepresentations – a natural generalization of the corresponding statement for group equivariant dynamics. Then Theorem 7.12 relates the decomposition of a representation given by a network with high-dimensional internal phase spaces to that induced by the same network with one-dimensional internal phase spaces. This result is used to show that there is a smallest dimension of internal dynamics in which all generic l-parameter bifurcations of a fundamental network can be observed (Theorem 7.24).

In Part III, we employ the machinery that was summarized and further developed in Part II to feedforward networks. We propose a general definition of this structural feature of a network and show that it can equivalently be characterized in different algebraic notions in Theorem 8.35. These are then exploited to fully classify the corresponding monoid representation for any feedforward network and to classify generic synchrony breaking steady state bifurcations with one- or highdimensional internal dynamics.

Die vorliegende Dissertationsschrift analysiert dynamisches Verhalten – insbesondere generische Bifurkationen von synchronen Ruhelagen – von dynamischen Systemen mit der zugrundeliegenden Struktur eines Halbgruppennetzwerks (semigroup network), die von der Netzwerkstruktur diktiert werden. Ein Schwerpunkt liegt dabei auf der Untersuchung des Zusammenspiels von Netzwerkdynamik und der Darstellungstheorie von Monoiden, welche über die Konstruktion eines Fundamentalnetzwerks und versteckte Symmetrien Eintritt erhält (siehe RINK und SANDERS).

Nachdem Teil I einen Überblick über die Entwicklung der Netzwerkdynamik und der dafür entwickelten Zugänge gibt, stellen wir Halbgruppennetzwerke, die darauf angepasste klassische Theorie der dynamischen Systeme sowie die notwendigen Grundlagen aus der Darstellungstheorie von Monoiden vor (Kapitel 3 und 4). Darüberhinaus untersuchen wir in Teil II generische Bifurkationen von synchronen Ruhelagen. Dieser Teil enthält drei Hauptresultate. Zunächst beweist Theorem 5.11, dass symmetriebrechende Bifurkationen in Systemen, die äquivariant bezüglich der Darstellung eines Monoiden sind, generischerweise entlang von absolut unzerlegbaren Unterdarstellungen auftreten – dies stellt eine natürliche Verallgemeinerung des zugehörigen Resultats für Gruppendarstellungen dar. Außerdem verbinden wir in Theorem 7.12 die Zerlegung der Darstellung, die von einem Netzwerk mit hochdimensionaler interner Dynamik erzeugt werden, mit der, die vom selben Netzwerk mit eindimensionaler interner Dynamik erzeugt wird. Dieses Resultat verwenden wir, um zu beweisen, dass es eine kleinstmögliche Dimension interner Dynamik gibt, in der alle generischen l-Parameter Bifurkationen eines Fundamentalnetzwerks auftreten (Theorem 7.24).

In Teil III wenden wir die Methoden und Techniken, die in Teil II vorgestellt und weiterentwickelt wurden, auf Netzwerke mit feedforward Struktur an. Wir definieren diese strukturelle Eigenschaft von Netzwerken allgemein und zeigen, dass sie äquivalent durch verschiedene algebraische Definitionen dargestellt werden kann (Theorem 8.35). Anschließend nutzen wir diese Darstellungen, um die zugehörige Monoiddarstellung eines beliebigen Netzwerks mit feedforward Struktur vollständig zu charakterisieren sowie generischerweise auftretenden Bifurkationen von synchronen Ruhelagen zu klassifizieren, sowohl im Fall eindimensionaler wie auch im Fall hochdimensionaler interner Dynamik.