Lattice topological field theories in two dimensions

Abstract

In this thesis I constructed a combinatorial model for r-spin, in particular spin, and framed surfaces. It is based on triangulations plus extra combinatorial data and describes closed surfaces as well as surfaces with parametrised boundary. Using this model I constructed a two-dimensional lattice topological quantum field theory (tqft) on r-spin and on framed surfaces. The algebraic input data to this tqft then consists of a Δ-separable Frobenius algebra. For r-spin tqfts its Nakayama automorphism N must satisfy N^r = 1, for framed surfaces there is no condition on N. The lattice construction is also compared to results from the cobordism hypothesis, a comparison made more interesting in this case as framed surfaces on the lattice side can be considered. The lattice construction used in this thesis is closely related to defect networks, applicable to general 2d-qfts. It is expected that translating the method to defect networks allows constructing (r-)spin-qfts from ordinary qfts and this thesis is indeed the foundation for that program. A completion of the above mentioned defect-networks program should shed more light on this connection.

Die Arbeit besteht aus zwei wesentlichen Teilen. Im ersten Teil wird ein kombinatorisches Modell für Flächen mit r-Spinstruktur und Flächen mit Rahmung konstruiert. Das verwendete Modell besteht aus Triangulierungen mit Zusatzdaten und schließt auch Flächen mit parametrisiertem Rand mit ein. Im zweiten Teil wird das kombinatorische Modell zur Konstruktion einer topologischen Gitterquantenfeldtheorie auf diesen Flächen verwendet. Die notwendigen algebraischen Eingangsdaten sind dann eine Δ-separable Frobeniusalgebra. Im r-spin Fall muss deren Nakayamaautomorphismus zur r-ten Potenz die Identitätsabbildung sein während es im Fall von gerahmten Flächen keine Bedingung für N gibt. Die konstruierte Gitterfeldtheorie kann mit Resultaten aus der Kobordismushypothese verglichen werden. Dies ist vor allem deshalb interessant weil in der Gitterkonstruktion Flächen mit Rahmung betrachtet werden können. Die Gitterkonstruktion ist auch nah verwandt mit Defektnetzwerken, welche in zweidimensionalen Quantenfeldtheorien verwendet werden können. Diese Arbeit legt die Grundlagen um solche Defektnetzwerke zur Konstruktion von (r-)Spin-Quantenfeldtheorien aus anderen Quantenfeldtheorien zu verwenden. Eine weitergehende Untersuchung der genannten Defektnetzwerke sollte diese Verbindung noch besser klären.