Topological and Algebraic Properties of Topological Group Cohomology and LHS-type Spectral Sequences

Abstract

The aim of the current thesis is to investigate algebraic and topological properties encoded in cohomology classes of locally continuous group cohomology, and also in which cases LHS-style spectral sequences exist for this model. One of the three main results of the current thesis shows, for a large class of topological groups, that each cohomology class has a cocycle representative whose restriction to an open and dense subset is continuous. The second main result relates to lifting obstructions on principal bundles. If P is a principal G-bundle over X and we have a topological central extension K of G by some abelian group Z, one might ask when we can lift P to a K-bundle over X. We show that, under reasonable assumptions on the spaces involved, we can always have such a lift if K is topologically the product of Z and G. The third result relates to LHS spectral sequences. We prove a generalization to the locally continuous group cohomology of the classical result of Lyndon, Hochschild and Serre, in the case of finite quotients.

Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, die in Kohomologieklassen lokal-stetiger Gruppenkohomologie enkodierte algebraische und topologische Information zu untersuchen und zu verstehen, in welchen Fällen LHS-ähnliche Spektralsequenzen existieren. Eines unserer drei Hauptresultate zeigt, für eine grosse Klasse von topologischen Gruppen, dass jede Kohomologieklasse, einen Repräsentanten hat, der, eingeschränkt auf eine offene dichte Teilmenge, stetig ist. Das zweite Hauptresultat betrifft Obstruktion von Prinzipalbündel. Ist P ein G-Prinzipalbündel über X und K eine zentral Erweiterung von G durch eine abelsche Gruppe Z, dann ist es eine natürliche Frage, ob sich P zu einem K-Prinzipalbündel über X hocheben lässt. Wir zeigen, dass unter milden Bedingungen eine solche Hochhebung immer existiert, solange K topologisch das Produkt von Z und G ist. Unser drittes Resultat betrifft LHS Spektralsequenzen. Wir zeigen eine Verallgemeinerugnen klassischer Resultate von Lyndon, Hoschschild and Serre zu lokal-stetigen Gruppenkohomologie unter der Annahme endlicher Quotienten.