A study of infinite graphs of a certain symmetry and their ends

Abstract

We show that Cayley graphs of groups which are either a free product with amalgamation over a finite subgroup of index two or an HNN­extension over a finite subgroup contain a Hamilton circle if at least one of the factors is a Dedekind group. We further explore Hamilton circles on Cayley graphs. Among other things we extend the famous result of Rapaport Strasser which states every Cayley graph of a finite group which is generated by three involutions, two of which commute, contains a Hamilton cycle to infinite groups in the 2­connected case. Additionally, we show that if atwo­ended group splits over a subgroup isomorphic to a finite cycle group of prime order, then any Cayley graph of that group contains a Hamilton circle as long as the generating set used to generate that Cayley graph does meet that subgroup. We extend our studies of two­ended groups and graphs and give a detailed list of characterizations of those objects. Finally we show that the process of splitting groups defined by Stallings can be extended to quasi­transitive graphs. It is known that such a process of splitting groups terminates exactly for accessible groups. We show there is a process of splitting quasi­transitive graphs that terminates exactly for accessible graphs.

Wir zeigen, dass Cayley­Graphen von Gruppen, welche als freies Produkt mit Amalgamation über einer endlichen Untergruppe oder als HNN­Erweiterung einer endlichen Gruppe geschrieben werden können, einen topologischen Hamiltonkreis besitzen, falls einer der Faktoren eine Dedekind­Gruppe ist. Im weiteren Verlauf untersuchen wir weitere Cayley­Graphen auf topologische Hamiltonkreise. Unter anderem verallgemeinern wir das berühmte Resultat von Rapaport Strasser welches besagt: Jeder Cayleygraph einer endlichen Gruppe, welche von drei Involutionen erzeugt wird, von denen zwei kommutieren, enthält einen Hamiltonkreis. Wir verallgemeinern dies zu unendlichen Gruppen deren Cayley Graph Zusammenhang 2 hat. Zusätzlich zeigen wir, dass, wenn eine Gruppe über einer Untergruppe zerfällt, welche isomorph zueiner zyklischen Gruppe von Primordnung ist, dann jeder Cayley­Graph dieser Gruppe einen topologischen Hamiltonkreis hat, sofern das benutzte Erzeugenendensystem diese Untergruppe trifft. Desweiteren erweitern wir unsere Studien von zweiendigen Gruppen und Graphen und geben eine detaillierte Liste von Charakterisierungen dieser Objekte. Zum Abschluss zeigen wir,dass man den Prozess des Teilens von Gruppen im Sinne von Stallings auf mehrendinge quasi­transitive Graphen erweitern kann. Es ist bekannt, dass ein solcher Prozess des Teilens von Gruppen genau für erreichbare Gruppen terminiert. Wir zeigen, dass es einen Prozess gibt quasi­transitive Gruppen zu teilen, welcher genau für erreichbare Graphen terminiert.