Hochschild cohomology, modular tensor categories and mapping class groups

Abstract

It is known that the mapping class group of a compact oriented surface of genus g and n boundary components acts projectively on certain Hom-spaces, called spaces of chiral conformal blocks, arising from a modular tensor category. If the tensor category is nonsemisimple, the Hom-functor is not exact and one can ask if there is a similar construction that gives a projective action of the mapping class group on the right derived functors. We will approach this question in two steps: In the first step, which is carried out in Chapter 2, we consider the case where the modular tensor category is given by the category of finite-dimensional modules over a factorizable ribbon Hopf algebra, and take the torus as the surface. In this case, the mapping class group is the modular group SL(2,Z), and one of the Hom-spaces mentioned above is the center of the factorizable ribbon Hopf algebra. The center is the zeroth Hochschild cohomology group, and we show that it is indeed possible to extend this projective action of the modular group to an arbitrary Hochschild cohomology group of a factorizable ribbon Hopf algebra. The second step, which is carried out in Chapter 3, is to consider the general case. We construct from an arbitrary modular tensor category and for every compact oriented surface with finitely many labeled boundary components a cochain complex of finite-dimensional vector spaces. Its zeroth cohomology group is the vector space appearing in the original construction. We show that the mapping class group of the surface acts projectively on the cohomology groups of this cochain complex in such a way that it reduces to the original action in degree zero. As we explain, this generalizes the results in Chapter 2.

Es wurde gezeigt, dass die Abbildungsklassengruppe einer kompakten, orientierten Fläche vom Geschlecht g mit n Randkomponenten projektiv auf gewissen Hom-Räumen, genannt Räume von chiral konformen Blöcken, einer modularen Tensorkategorie wirkt. Ist die Tensorkategorie nicht halbeinfach, so ist der Hom-Funktor nicht exakt und es stellt sich die Frage, ob es eine ähnliche Konstruktion gibt, die eine projektive Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf den rechtsabgeleiteten Funktoren liefert. Wir nähern uns dieser Frage in zwei Schritten: Im ersten Schritt, der sich in Kapitel 2 findet, betrachten wir den Fall, dass die modulare Tensorkategorie durch die Kategorie der endlichdimensionalen Moduln über einer faktorisierbaren Band-Hopfalgebra gegeben ist, und wählen den Torus als Fläche. In diesem Fall ist die Abbildungsklassengruppe die modulare Gruppe SL(2,Z), und einer der oben erwähnten Hom-Räume ist das Zentrum der faktorisierbaren Band-Hopfalgebra. Das Zentrum ist die nullte Hochschild-Kohomologiegruppe, und wir zeigen, dass es in der Tat möglich ist, die projektive Wirkung der modularen Gruppe auf eine beliebige Hochschild-Kohomologiegruppe zu verallgemeinern. Im zweiten Schritt, dem Kapitel 3 gewidmet ist, betrachten wir den allgemeinen Fall. Wir konstruieren, ausgehend von einer beliebigen modularen Tensorkategorie, für eine beliebige kompakte, orientierte Fläche einen Kokettenkomplex von endlichdimensionalen Vektorräumen. Die nullte Kohomologiegruppe dieses Kokettenkomplexes stimmt mit dem Vektorraum aus der ursprünglichen Konstruktion überein. Wir zeigen, dass die Abbildungsklassengruppe der Fläche auf den Kohomologiegruppen des Kokettenkomplexes in einer Weise wirkt, die sich in Grad Null auf die ursprüngliche Wirkung reduziert. Wie wir erklären, verallgemeinert das unsere Ergebnisse aus Kapitel 2.