Analyse extremaler Abhängigkeiten bei Zeitreihen

Abstract

Ein wichtiger Aspekt für den Umgang mit extremen zeitabhängigen Zufallsereignissen ist die Kenntnis über deren Abhängigkeitsstruktur in den Extrembereichen. Die extremale Abhängigkeitsstruktur von strikt stationären regulär variierenden Zeitreihen kann durch den sogenannten Spektralprozess beschrieben werden. Davis et al. (2018) haben zwei Schätzer für die eindimensionalen Marginalverteilungen dieses Prozesses vorgeschlagen, welche hauptsächlich auf Beobachtungen beruhen, die eine hohe deterministische Schranke überschreiten, und deren asymptotisches Verhalten analysiert. Die Höhe dieser deterministischen Schranken ist von der eindimensionalen Marginalverteilung der zugrunde liegenden Zeitreihe abhängig, die in der Praxis üblicherweise unbekannt ist. Aus diesem Grund werden zufällige Schranken verwendet, die sich anhand der zugrunde liegenden Stichprobe bestimmen lassen wie beispielsweise Ordnungsstatistiken. Im zweiten Kapitel dieser Dissertation wurde gezeigt, dass das asymptotische Verhalten der beiden Schätzer sich nicht verändert, wenn zufällige Schranken anstelle von deterministischen Schranken verwendet werden. Dieser Zusammenhang wird insbesondere in einer Simulationsstudie bei endlichem Stichprobenumfang bestätigt, wobei die Versionen der beiden Schätzer, die zufällige Schranken verwenden, etwas besser abschneiden. Im Hinblick auf die Konstruktion geeigneter Konfidenzbereiche für die Verteilungsfunktion der eindimensionalen Marginalverteilung des Spektralprozesses haben Davis et al. (2018) spezielle Bootstrap-Versionen dieser Schätzer herangezogen und deren Konsistenz bei Verwendung von deterministischen Schranken bewiesen. Im dritten Kapitel dieser Dissertation wurde nachgewiesen, dass ebenjene Bootstrap-Versionen der Schätzer, die zufällige Schranken verwenden, dasselbe asymptotische Verhalten aufweisen. Im Fall der asymptotischen Unabhängigkeit der zugrunde liegenden Zeitreihe ist der Spektralprozess wenig informativ. Das stochastische Verhalten der zweidimensionalen Marginalverteilungen in den Extrembereichen kann jedoch mit Hilfe eines speziellen Maßes, das aus einer Regularitätsannahme in diesen Extrembereichen hervorgeht, erfasst werden. Dieser Ansatz wurde in dieser Dissertation im Kontext von bivariaten strikt stationären Zeitreihen statistisch untersuchen. Nach Konstruktion eines geeigneten Schätzers für das Grenzmaß konnte dessen asymptotische Normalität im sechsten Kapitel gezeigt werden. Im Gegensatz zum Spektralprozess hält das Grenzmaß neben dem extremalen Abhängigkeitsverhalten insbesondere das stochastischen Verhalten der eindimensionalen Marginalverteilungen jener zweidimensionalen Zufallsvektoren (auch Tailverhalten genannt) fest. Werden diese Zufallsvektoren zunächst mit Hilfe ihrer eindimensionalen Marginalverteilungen geeignet standardisiert, erfasst das zugehörige Grenzmaß das extremale Abhängigkeitsverhalten losgelöst vom Tailverhalten. Da in der Praxis die eindimensionalen Marginalverteilungen für gewöhnlich unbekannt sind, wird eine empirische Variante dieser Marginalstandardisierung für die zugrunde liegenden Beobachtungen angewandt, die eine Rangtransformation darstellt. Dieses Vorgehen verursacht jedoch beim Schätzen des Grenzmaßes einen zusätzlichen Schätzfehler. Im siebten Kapitel dieser Dissertation wurde gezeigt, dass der Schätzer für das Grenzmaß angewandt auf die rangtransformierten Beobachtungen asymptotisch normal ist, wobei der Schätzfehler, der durch die Verwendung von rangtransformierten Beobachtungen entsteht, nur im Fall der asymptotischen Abhängigkeit in die Grenzverteilung eingeht. Die Regularitätsannahme in den Extrembereichen der Verteilung der zweidimensionalen Zufallsvektoren ermöglicht insbesondere die Konstruktion von Schätzern für Überschreitungswahrscheinlichkeiten, in denen beide Koordinaten des Zufallsvektoren jeweils eine hohe Schranke überschreiten. Diese Schätzer setzen sich dann unter anderem aus Schätzern für die Verteilungsfunktionen der eindimensionalen Marginalverteilungen zusammen. Dabei ist die Schätzmethode im Fall der asymptotischen Unabhängigkeit deutlich aufwendiger, da eine zusätzliche Parameterschätzung erforderlich ist. Im achten Kapitel wurde das asymptotische Verhalten der Schätzer für Überschreitungswahrscheinlichkeiten unter Berücksichtigung des asymptotischen Verhaltens jener Schätzer, die für die Schätzung herangezogen werden, bestimmt.

An important aspect for dealing with extreme events of stochastic processes is the knowledge of their dependence structure in extreme regions. The extremal dependence structure of strictly stationary regularly varying time series can be described by the so-called spectral tail process. Davis et al. (2018) have proposed two estimators for the one-dimensional marginal distributions of this process, which are mainly based on observations that exceed a high deterministic threshold, and analyzed their asymptotic behavior. However, in order to choose deterministic thresholds appropriately, knowledge about the one-dimensional marginal distribution of the underlying time series is needed. Since those marginal distributions are usually unknown in practice, versions of these estimators are applied which use random thresholds like intermediate order statistics. In the second chapter of this thesis, it is shown that the asymptotic behavior of the two estimators does not change if random thresholds are used instead of deterministic ones. This relationship is also corroborated in a simulation study, but the modified estimators which use random thresholds often perform a bit better for finite samples. In order to construct suitable confidence regions for the distribution functions of the spectral tail process, Davis et al. (2018) proved the consistency of certain bootstrap versions of these two estimators using deterministic thresholds. In the third chapter of this thesis, it is shown that the bootstrap versions of the estimators that use random thresholds have the same asymptotic behavior. In the case of asymptotic independence of the underlying time series, the spectral tail process is not informative at all. However, in extreme regions, the stochastic behavior of two-dimensional marginal distributions of the underlying time series can be captured by a certain measure that results from a regularity assumption in these extreme regions. This approach was investigated in this thesis in the framework of bivariate strictly stationary time series. After constructing a suitable estimator for the corresponding limit measure, its asymptotic normality is shown in the sixth chapter. In contrast to the spectral process, the limit measure captures also the stochastic behavior of the one-dimensional marginal distributions of those two-dimensional random vectors in its extreme regions (also called tail behavior). If these random vectors are first appropriately standardized with the aid of their one-dimensional marginal distributions, then the corresponding limit measure captures the extremal dependence behavior without its tail behavior. Since one-dimensional marginal distributions are usually unknown in practice, an empirical version of this marginal standardization is used for the underlying observations. This procedure causes an additional estimation error. In the seventh chapter of this thesis, it is shown that the estimator of the limit measure applied to the empirically standardized observations is asymptotically normal, whereby the estimation error, which arises from the use of empirically standardized observations, only occurs in the case of asymptotic dependence. The assumption of regularity in extreme regions also enables the construction of estimators for probabilities of extreme events, where both coordinates of the two-dimensional random vectors exceed a high threshold. These estimators include also estimators for the distribution functions of the one-dimensional marginal distributions. In addition, in the case of asymptotic independence, the estimation method is more complex since an additional parameter estimation is needed. In the eighth chapter, the asymptotic behavior of the estimators for probabilities of extreme events is determined taking into account the possible asymptotic behavior of those estimators which are used in addition for the estimation.