Eine axiomatische Charakterisierung räumlicher Granularität : formale Grundlagen detailgrad-abhängiger Objekt- und Raumrepräsentation

Abstract

Ausgangshypothese der vorliegenden Arbeit ist, dass räumliche Granularität vom Konzept der Ausdehnung in einem Kontext wesentlich bestimmt wird. Diese Hypothese, für die sowohl Ergebnisse kognitionswissenschaftlicher Untersuchungen wie auch Ergebnisse der Forschung zu geographischen Informationssystemen sprechen, wird formalisiert und genau untersucht. Im ersten Teil der Arbeit wird eine formale Charakterisierung von Granularität und räumlicher Ausdehnung erarbeitet, die auf besonderen ausgedehnten Entitäten, den Orten basiert. Hierzu müssen sowohl die mathematischen Grundlagen von Ausdehnung und Distanz als auch die — für die Gewährleistung kognitiver Adäquatheit wichtigen — mathematischen Grundlagen vager Klassifikation beachtet werden. Im zweiten Teil der Arbeit wird ausgeführt, dass die im ersten Teil vorgestellte Konzeption tatsächlich viele der von der Kognitionswissenschaft geforderten Eigenschaften räumlicher Granularität aufweist.

Die im zweiten Teil aufgestellten Definitionen können als formale Spezifikationen für Anwendungen im Bereich intelligenter Systeme aufgefasst werden. Die Ergebnisse der Untersuchung sind durch die Verwendung der axiomatischen Methode formal exakt und nachprüfbar. Die Berücksichtigung verschiedener möglicher Modelle erlaubt aber genügend Offenheit, um für eine bestimmte Anwendung spezialisierte Konzepte ableiten zu können.

Der Ansatz modelliert verschiedene vage, kontextabhängige und sogar zu Paradoxa führende Konzepte des Allgemeinverstandes in klarer und formal exakter Form, ohne ihre Vagheit und Kontextabhängigkeit wesentlich zu vereinfachen. Der Begriff des räumlichen Kontextes kann mit Hilfe der charakterisierten Konzepte modelliert werden: Der formale, geometrische Begriff des Ortes, der in dieser Arbeit vorgestellt wird, kann als Repräsentant für räumliche Kontexte verwendet werden. Es kann auch erklärt werden, wie sich Granularität und Vagheit durch den zentralen Begriff der in einem Kontext irrelevanten Ausdehnung in Verbindung bringen lassen. Mehrere der betrachteten Phänomene können auf bestimmte in einem Kontext irrelevante Ausdehnungen zurückgeführt werden: für das Phänomen der Dimensionalität im Kontext wird zwischen den relevanten und den irrelevanten Ausdehnungen eines Objektes im Kontext unterschieden; für das Phänomen vager Regionen wird die irrelevante Ausdehnung einzelner Konstituenten von der relevanten Ausdehnung des konstituierten Objektes unterschieden.

In der Untersuchung werden verschiedene nicht-transitive Ununterscheidbarkeitsrelationen betrachtet. Nicht-transitive Ununterscheidbarkeit ist ein in der kognitionspsychologischen Forschung experimentell und formal gut untersuchtes Phänomen, dass aber im Bereich der Forschung zum qualitativen räumlichen Schließen bislang wenig beachtet wurde.

Starting point of the dissertation is the hypothesis that spatial granularity is influenced by the concept of extension in a context. This hypothesis, which is supported by results from research on both spatial cognition and geographic information systems, is formally specified and analysed. In the first part of the dissertation, a formal characterisation of granularity and spatial extension is introduced, which is based on certain extended geometric entities, called places. The mathematical foundations of extension and distance as well as the mathematical foundations of vague classification are included in the discussion. The concept of vague classification is used to ensure cognitive adequacy of the derived concept of spatial granularity. In the second part, the derived concepts are shown to have many of the properties of spatial granularity that have been found in cognitive science.

The definitions proposed in the second part can be understood as specifications of applications in the area of research on intelligent systems. The results being derived using the axiomatic method are formally exact and verifiable. Nevertheless, the formalisation is open enough to allow different models, so that specialised concepts can be derived as needed for a given application.

The approach models several vague and context-dependent notions of common-sense and even especially unwieldy notions leading to paradox in a clear and formally exact manner without sacrificing vagueness and context-dependency. The notion of spatial context can be modelled using the characterised concepts: the formal, geometric notion of place, which is introduced in this dissertation, can be used to represent spatial contexts. In addition, it can be explained how granularity and vagueness can be linked by the central notion of irrelevant extension in a context. Several of the analysed phenomena of spatial granularity can be put down to a certain irrelevant extension in a context: for the phenomenon of dimensionality in a context, the relevant and irrelevant extensions of an object in a context are examined; for the phenomenon of vague regions, the irrelevant extension of constituents of an object is studied in comparison to the relevant extension of the constituted object.

The analysis uses several non-transitive relations of indistinguishability. Non-transitive indistinguishability is a phenomenon, which is well examined in cognitive psychology both experimentally and formally, but has not been covered by research on qualitative spatial reasoning.