Anwendungen unscharfer Methoden in der Schadenreservierung

Abstract

Subjektive Beurteilungen und die Erfahrung sowie Intuition der Aktuare besitzen große Relevanz in der Schadenreservierung und werden oftmals bei der Festsetzung von Schadenreserven berücksichtigt, weshalb Unsicherheit, die aus Unschärfe resultiert, eine zentrale Rolle in diesem Bereich spielt. Die gewöhnlichen statistischen Schadenreservierungsverfahren können Unsicherheit aufgrund von Unschärfe allerdings nicht einbeziehen, sondern hierzu werden Methoden aus dem Bereich der Theorie unscharfer Mengen benötigt. Solche Methoden sind daher prädestiniert für Anwendungen in der Schadenreservierung.

In dieser Arbeit ist zunächst ein vollständiger Überblick über den aktuellen Forschungsstand in Bezug auf den Einsatz unscharfer Methoden in der Schadenreservierung gegeben worden. Hierzu wurden die bisher erschienenen Veröffentlichungen in chronologischer Reihenfolge vorgestellt, detailliert erläutert und zudem einer kritischen Würdigung unterzogen. Im Anschluss wurden drei neue unscharfe Schadenreservierungsverfahren entwickelt, die zusätzliche Möglichkeiten bieten, Unschärfe bei der Bestimmung von Schadenreserven erfassen und modellieren zu können.

Bei dem ersten der vorgeschlagenen Verfahren handelt es sich um eine unscharfe Version des Chain-Ladder-Verfahrens, das sowohl in der Theorie als auch in der Praxis zu den populärsten Schadenreservierungsverfahren zählt. Dieses Verfahren wurde basierend auf der Beobachtung entwickelt, dass in ausnahmslos allen bisher erschienenen Veröffentlichungen im Bereich der unscharfen Schadenreservierung als unscharfe Zahlen dreieckförmige unscharfe Zahlen verwendet werden. Diese besitzen zwar positive Eigenschaften, in einigen Situationen sind jedoch durchaus unscharfe Zahlen mit einer anderen Form der Zugehörigkeitsfunktion geeigneter, weshalb bei dem vorgeschlagenen unscharfen Chain-Ladder-Verfahren statt dreieckförmigen unscharfen Zahlen quasi-exponentielle unscharfe Zahlen zur Modellierung der Chain-Ladder-Faktoren genutzt worden sind. Das Verfahren stellt damit die erste Anwendung im Bereich der unscharfen Schadenreservierung dar, bei der die Zugehörigkeitsfunktion der unscharfen Zahlen nicht dreieckförmig ist. Es hat sich gezeigt, dass die Verwendung von quasi-exponentiellen statt dreieckförmigen unscharfen Zahlen zur Modellierung der Chain-Ladder-Faktoren den Vorteil besitzt, dass dies zu einer erheblichen Reduktion der Prognoseunsicherheit führen kann und man somit wesentlich aufschlussreichere Ergebnisse erhalten kann.

Bei den beiden anderen in dieser Arbeit neu entwickelten Verfahren handelt es sich um unscharfe Versionen von zwei weiteren populären Schadenreservierungsverfahren, von dem additiven Verfahren und dem Cape-Cod-Verfahren. Diesen Verfahren liegt die Idee zugrunde, Informationen, die zusätzlich zu einem Abwicklungsdreieck eingehen und die vom Aktuar auszuwählen sind, als unscharfe Zahlen zu modellieren. Da solche Informationen oftmals mit Unschärfe behaftet sind, ist dies eine naheliegende und sinnvolle Erweiterung. Bei dem additiven Verfahren und dem Cape-Cod-Verfahren sind es die Volumenmaße, bei denen es sich um externe Informationen handelt und die daher fuzzifiziert werden. Dadurch wird es ermöglicht, Unsicherheit bezüglich der Volumenmaße abzubilden und bei der Bestimmung von Schadenreserven einzubeziehen. Bei dem unscharfen Cape-Cod-Verfahren sind neben den Volumenmaßen darüber hinaus auch die Parameter des Abwicklungsmusters als unscharfe Zahlen modelliert worden, so dass bei diesem Verfahren zudem Unsicherheit bezüglich des Abwicklungsmusters in seiner in praktischen Anwendungen üblicherweise verwendeten Form berücksichtigt werden kann.

Bei allen drei Verfahren sind die ermittelten unscharfen Schadenreserven zum Schluss defuzzifiziert worden, um scharfe Zahlen zu erhalten, die in der Bilanz ausgewiesen werden können. Des Weiteren wurde bei allen drei Verfahren die Prognoseunsicherheit für einzelne und aggregierte Anfalljahre quantifiziert. Dies ist von zentraler Bedeutung, um auch die Genauigkeit der Prognose beurteilen zu können, ist bei den meisten der bisherigen Publikationen, in denen unscharfe Methoden in der Schadenreservierung angewendet werden, jedoch versäumt worden. Die in dieser Arbeit vorgestellten und neu entwickelten Schadenreservierungsverfahren, die es erlauben subjektive Einschätzungen formal zu integrieren und Unsicherheit in Form von Unschärfe einzubeziehen, stellen eine ausgesprochen sinnvolle Ergänzung zu den gewöhnlichen statistischen Schadenreservierungsverfahren dar.