Different perspectives on Multiple q-Zeta Values

Abstract

Ein $q$-Analogon eines Multiplen Zetawerts ist eine $q$-Reihe, welche (nach eventueller Modifikation) im Grenzwert $q\to 1$ einen Multiplen Zetawert ergibt. Ebenso wie die Multiplen Zetawerte erfüllen auch deren $q$-Analoga viele Linearrelationen in Analogie zu den Multiplen Zetawerten. Oftmals ist es praktisch, für die Untersuchung der algebraischen Struktur Multipler Zetawerte deren~$q$-Analoga zu betrachten, um nicht gewollte Effekte reeller Zahlen zu umgehen. Diese Arbeit widmet sich nun der Struktur dieser $q$-Analoga. Wir stellen hierfür unterschiedliche Zugangsmöglichkeiten vor: Einen algebraischen, einen kombinatorischen und einen analytischen.

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\noindent Der algebraische Zugang untersucht die $\Q$-Algebra der $q$-Analoga, $\mathcal{Z}_q$, mit altbekannten Mitteln wie der Dualität und der stuffle-Produkt-Darstellung des Produkts von~$q$-Analoga. Hierbei werden eine spezielle Klasse von Linearrelationen systematisch ausgenutzt, um neue Resultate, insbesondere hinsichtlich einer Vermutung aus Bachmanns Dissertation, zu erlangen. Hierfür werden sogenannte formale Multiple~$q$-Zetawerte, wie in Burmesters Dissertation eingeführt, verwendet, welche die betrachteten~$q$-Analoga hinsichtlich der betrachteten Klasse von Relationen algebraisch abstrahiert. Die genann- te Vermutung von Bachmann sagt aus, dass die Algebra der formalen Multiplen~$q$-Zetawerte~$\Zq$ mit der Unteralgebra $\Zqz$ übereinstimmt, wobei~$\Zqz$ durch ihre Definition zunächst wesentlich 'kleiner' als $\mathcal{Z}_q$ erscheint. Wir werden diese Vermutung weiter verfeinern und geben einen präziseren Ansatz als bislang bekannt zu einem (hoffentlich) allgemeinen Beweis der Vermutung, welcher nach wie vor offen bleibt.

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\noindent Der kombinatorische Zugang hingegen führt über sogenannte markierte Partitionen, welche Partitionen sind, in deren Young-Diagramm Zeilen und Spalten auf gewisse Weise markiert sind. Sämtliche $q$-Analoga Multipler Zetawerte sind die Erzeugendenreihe von speziellen markierten Partitionen, wie aus meiner Masterarbeit bereits bekannt ist. Nachdem in letzterer geklärt wurde, wie Dualität durch markierte Partitionen beschrieben werden kann, geben wir nun eine explizite Beschreibung des stuffle-Produkts auf dem Level der markierten Partitionen. Dies ist innovativ, da sich hieraus ein tieferes Verständnis des stuffle-Produkts ableiten lässt. Zudem kann nun vermutungsweise jede Linearrelation zwischen Multiplen~$q$-Zetawerten durch markierte Partitionen beschrieben werden, da Dualität und stuffle-Produkt vermutungsweise alle solche Linearrelationen implizieren. Eine zukunftsweisende Frage ist, wie sich markierte Partitionen zum Beweis algebraischer Vermutungen über Multiple~($q$-)Zetawerte einsetzen lassen.

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\noindent Der analytische Zugang zuletzt beschäftigt sich mit dem asymptotischen Verhalten von~$q$-Analoga. Hierbei gibt es zwei unterschiedliche asymptotische Verhalten zu untersuchen: Indem man $q=e^{-t}$ ($t>0$) setzt und die asymptotische Entwicklung des $q$-Analogons für~$t\to 0$ betrachtet. Oder indem man das asymptotische Verhalten der Koeffizienten von $q^n$ der entsprechenden~$q$-Reihe für $n\to\infty$ untersucht. Beides stellt sich als schwierig heraus, sodass beide Ansätze in dieser Arbeit die asymptotische Entwicklung nur von speziellen~$q$-Analoga liefern und die Entwicklung für allgemeine $q$-Analoga von Multiplen Zetawerten als weiteren Forschungsgegenstand offen lässt. Jedoch gibt der gewählte Ansatz über die asymptotische Entwicklung der Fourierkoeffizienten mittels der Kreismethode nach Wright die asymptotische Entwicklung sehr vieler weiterer, in der Zahlentheorie und darüber hinaus, relevanter $q$-Reihen.

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\noindent Durch jede der drei Herangehensweise an die algebraische Struktur von $q$-Analoga Multipler Zetawerte werden neue Fragestellungen aufgeworfen und zugleich Wege zur Fortsetzung aufgezeigt.