Topics in three-dimensional descent theory

Abstract

We study strictification in the context of three-dimensional category theory. The first chapter is concerned with coherence for monadic functor categories between Gray-enriched categories. Pseudo algebras are identified with locally strict trihomomorphisms, and the universal strictification of such a trihomomorphism is obtained as a codescent object. In the second chapter, this is used to prove two three-dimensional Yoneda lemmata by reference to the enriched one. The first leads to an alternative, explicit strictification. The second is the major technical achievement: a Yoneda lemma for tricategories. In the third chapter, we introduce a three-dimensional descent construction as a simple tricategorical limit and show that it strictifies to a known, explicit construction.

Wir untersuchen Striktifizierung im Kontext dreidimensionaler Kategorientheorie. Das erste Kapitel beschäftigt sich mit Kohärenz für monadische Funktorkategorien zwischen Gray-angereicherten Kategorien. Pseudoalgebren werden mit lokal-strikten Trihomomorphismen identifiziert und wir erhalten die universelle Striktifizierung eines solchen Trihomomorphismus' als ein Koabstiegsobjekt. Im zweiten Kapitel wird dies benutzt, um zwei dreidimensionale Yoneda-Lemmata zu beweisen. Das erste führt zu einer alternativen, expliziten Striktifizierung. Das zweite ist das wesentliche technische Resultat: ein Yoneda-Lemma für Trikategorien. Im dritten Kapitel führen wir eine dreidimensionale Abstiegskonstruktion als einfachen trikategorientheoretischen Limes ein und zeigen, daß dessen Striktifizierung mit einer bekannten, expliziten Konstruktion übereinstimmt.