Non-semisimple modular tensor categories from small quantum groups

Abstract

In the first part, we reinterpret the conditions in (Mueller, 1998) on the so-called Lusztig ansatz to give an R-matrix on a small quantum group u in terms of the non-degeneracy of a certain bihomomorphism f, leading to an extension of the results in (Lentner-Nett, 2015). We show that irreducible transparent objects in Rep(u) are 1-dimensional and classify them. In particular, we show that factorizability of the above R-matrix is equivalent to the non-degeneracy of the so-called symmetrization of the non-degenerate bihomomorphism f. We compute all possible R-matrices of the above form and the corresponding groups of transparent objects for all small quantum groups and collect them in a Table. Finally, we construct a ribbon structure on every quasi-triangular small quantum group of the above form. In the second part, we explicitly construct a modularization of VectG using a different approach than (Bruguieres, 2000). We construct a family of finite-dimensional quasi-triangular quasi-Hopf algebras, generalizing extended small quantum groups. Moreover, we compute the relevant relations for them. We give sufficient conditions for the modularizability of representation categories of small quantum groups. If they are fulfilled, we define an explicit modularization functor.

Im ersten Teil interpretieren wir die Bedingungen in (Mueller, 1998) für den sog. Lusztig-Ansatz einer R-Matrix auf einer kleinen Quantengruppe u neu. Eine wesentliche Rolle spielt dabei die Nicht-Degeneriertheit eines Bihomomorphismus f. Dies führt zu einer Erweiterung der Ergebnisse in (Lentner-Nett, 2015). Wir zeigen, dass die transparenten Objekte in Rep(u) 1-dimensional sind und klassifizieren sie. Insbesondere zeigen wir, dass die Nicht-Degeneriertheit der obigen R-Matrix äquivalent zur Nicht-Degeneriertheit der Symmetrisierung des nicht-degenerierten Bihomomorphismus f ist. Wir berechnen alle möglichen R-Matrizen der obigen Form und die jeweilige Gruppe der transparenten Objekte für alle kleinen Quantengruppen und sammeln diese in einer Tabelle. Schliesslich konstruieren wir ein Band-Element auf jeder quasi-triangulären kleinen Quantengruppe der obigen Form. Im zweiten Teil konstruieren wir eine explizite Modularisierung von VectG unter Verwendung eines anderen Ansatzes als in (Bruguieres, 2000). Wir konstruieren eine Familie endlich-dimensionaler quasi-triangulärer Quasi-Hopf Algebren, welche erweiterte kleine Quantengruppen verallgemeinern. Weiterhin berechnen wir die relevanten Relationen dieser Quasi-Hopf Algebren. Wir geben notwendige Bedingungen für die Modularisierbarkeit der Darstellungskategorien kleiner Quantengruppen. Falls diese erfüllt sind, definieren wir einen expliziten Modularisierungsfunktor.